数据拟合：直线拟合--多项式拟合

数据拟合：直线拟合--多项式拟合

1.问题概述

在实际问题中，常常需要从一组观察数据

(xi,yi) i=1,2,,..,n

去预测函数 y=f(x) 的表达式，从几何角度来说，这个问题就是要由给定的一组数据点(xi,yi)去描绘曲线 y=f(x) 的近似图像。插值方法是处理这类问题的一种数值方法。不过，由于插值曲线要求严格通过所给的每一个数据点，这种限制会保留所给数据的误差。如果个别数据的误差很大，那么插值效果显然是不理想的。

现在面对的问题具有这样的特点：所给数据本事不一定可靠，个别数据的误差甚至可能很大，但给出的数据很多。曲线拟合方法所研究的课题是：从给出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出规律来，就是说，设法构造一条曲线，即所谓拟合曲线，反映所给数据点总的趋势，以消除所给数据的局部波动。

2.理论与方法

假设所给数据点 (xi,yi) i=1,2,,..,n 的分布大致成一条直线。虽然不能要求所作的拟合直线

y = a + bx

严格的通过所有数据点(xi,yi)但总希望它尽可能地从所给数据点附近通过，就是说，要求近似地成立

这里，数据点的数目通常远远大于待定系数的数目，即N2,因此，拟合直线的构造本质上是个解超定方程组的代数问题。

设

表示按拟合直线y=a+bx求得的近似值，一般来说，它不同于实测值yi，两者之差称作残差。显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。具体地说，构造拟合曲线可以采用下列三种准则之一：

• 使残差的最大绝对值为最小，即

• 使残差的绝对值之和为最小，即

• 使残差的平方和为最小，即

分析以上三种准则，前两种提法比较自然，但由于含有绝对值运算，不便于实际应用；基于第三种准则来选取拟合曲线的方法则称作曲线拟合的最小二乘法。

3.算法与设计

1) 直线拟合

对于给定的数据点(xi,yi),i=1,2,...n求作一次式 y=a+bx ，使总误差

为最小。使Q达到极值的参数a,b应满足

即成立

式中，求和表示关于下标i从1到N求和。

2) 多项式拟合

有时所给数据点用直线拟合并不合适，这时可以考虑用多项式拟合。

对于给定的数据点（xi,yi）,i=1,2,...,n求作m（m<<n）次多项式

使总误差

为最小。由于Q可以视作关于aj(j = 0,1,...,m)的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。

令

得

即得到关于系数aj的线性方程组通常称作正则方程组。

4.案例分析

Example:

Data set1

Memory Capacity in GBytes	Price in US dollars
2	9.99
4	10.99
8	19.99
16	29.99

1 What's therelationship between memory capacity and cost? Pleas fitting a linear and higher polynomial function model to the data.

由实验结果可以得出在多项式拟合曲线的过程中，不一定是次数越高，结果越准确，结合实际问题与残差值得衡量，可以找到对于具体问题几阶的拟合效果更好。

汇总结果函数图像为：

根据函数图像可以得出表格：

二阶：

Memory Capacity in GBytes	Price in US dollars
2	9.54
4	12.52
8	18.49
16	30.42

三阶：

Memory Capacity in GBytes	Price in US dollars
2	9.06
4	12.61
8	19.17
16	30.1

四阶：

Memory Capacity in GBytes	Price in US dollars
2	9.99
4	11
8	19.98
16	30

通过与原表格的数据进行分析：

不难看出四阶的函数表达式最接近原题。

即：y=13.0376+-2.75*x+0.666667*x^2+-0.0267857*x^3

但是由函数的图像观察到，x在[2,15]的区间内比较符合题意，超出区间后函数的走势开始慢慢趋于不符合实际情况。所以我们考虑在15以后采用二阶的函数。

5.代码

void _2()
{//一阶double mat[105][2];double b[105];ifstream ifile;ifile.open("e:\\sat.txt");for (int i = 0; i < 105; i++){mat[i][0] = 1;ifile >> mat[i][1];// cout << mat[i][0] << "  " << mat[i][1] << endl;}for (int i = 0; i < 105; i++){ifile >> b[i];//    cout << b[i] << endl;}ifile.close();
/*double t = 0, t2 = 0, bi = 0, tb = 0;for (int i = 0; i < 105; i++){bi += b[i];for (int j = 0; j < 2; j++){if (j == 1){t += mat[i][j];t2 += mat[i][j] * mat[i][j];tb += mat[i][j] * b[i];}}}double x1 = (t2*bi - tb*t) / (105 * t2 - t*t);double x2 = (105 * tb - t*bi) / (105 * t2 - t*t);//cout << x1 << " " << x2 << endl;cout << "拟合方程(关于high_gpa)：";cout << endl << "y = " << x1 << " + " << x2 << "x" << endl;//一阶
*///4阶double mat21[105][5];ifstream file;file.open("e:\\sat.txt");for (int i = 0; i < 105; i++){mat21[i][0] = 1;file >> mat21[i][1];//   cout << mat[i][0] << "  " << mat[i][1] << endl;}for (int i = 0; i < 105; i++) file >> mat21[i][2];for (int i = 0; i < 105; i++) file >> mat21[i][3];for (int i = 0; i < 105; i++) file >> mat21[i][4];for (int i = 0; i < 105; i++){file >> b[i];//   cout << b[i] << endl;}file.close();double mat22[5][105];memset(mat22, 0, sizeof(mat22));for (int i = 0; i < 5; i++){for (int j = 0; j < 105; j++){mat22[i][j] = mat21[j][i];}}double bb2[5][5];memset(bb2, 0, sizeof(bb2));for (int i = 0; i < 5; i++){for (int j = 0; j < 5; j++){for (int k = 0; k < 105; k++){bb2[i][j] += mat22[i][k] * mat21[k][j];}}}double yy2[5];memset(yy2, 0, sizeof(yy2));for (int i = 0; i < 5; i++){for (int k = 0; k < 105; k++){yy2[i] += mat22[i][k] * b[k];}}double x21[5], x22[5];memset(x21, 0, sizeof(x21));memset(x22, 0, sizeof(x22));double  temp;for (int k = 0; k < 5; k++){for (int i = k + 1; i < 5; i++){temp = bb2[i][k] /bb2[k][k];for (int j = k + 1; j < 5; j++){bb2[i][j] -= temp*bb2[k][j];}yy2[i] -= temp*yy2[k];}}for (int i = 4; i >= 0; i--){x21[i] = b[i];for (int j = 4; j >= 0; j--){if (i != j){x21[i] -= bb2[i][j] * x21[j];}}x21[i] /= bb2[i][i];}cout << endl;cout << "拟合方程(关于high_gpa,math_sat,verb_sat,comp_gpa)：";cout << endl << "y = " << x21[0] << " + " << x21[1] << "*high_gpa" << " + " << x21[2] << "math_sat" << " + " << x21[3] << "verb_sat" << " + " << x21[4] << "comp_gpa"<<endl;return;
}

End