简 介： 本文讨论了 z 变换的初值定理和终值定理。

关键词： ZT，初值定理，终值定理

z 变换中的初值定理和终值定理， 可以让我们直接根据序列的 z 变换， 不直接经过反变换的情况下， 确定序列在n=0， 以及趋向于∞的时候的取值。

1.1 初值与终值定理

  如果 $x\left[n\right]$ 为因果序列， 且 X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 + ∞ x [ n ] z − n X\left( z \right) = Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - n} } X(z)=Z{x[n]}=n=0∑+∞​x[n]z−n 那么 $x\left[0\right]=z\to \infty \lim X\left(z\right)$ $n\to \infty \lim x\left[n\right]=z\to 1\lim \left(z-1\right)X\left(z\right)$

对于因果序列x[n], 如果知道它存在z变换X(z)， 那么初值定理告诉我们， x[0]等于X(z)在z趋向于无穷大时的极限。 终值定理告诉我们， 如果x[n]在n趋向于无穷大时， 极限存在，即序列的终值存在的话， 那么改终值等于函数(z-1)X(z)， z趋向于1的极限。

1.2 定理证明

1.2.1 初值定理证明

lim ⁡ z → ∞ X ( z ) = lim ⁡ z → ∞ ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } X\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left[ n \right]z^{ - n} } z→∞lim​X(z)=z→∞lim​n=0∑∞​x[n]z−n = x [ 0 ] + lim ⁡ z → ∞ ∑ n = 1 ∞ x [ n ] z − n = x [ 0 ] = x\left[ 0 \right] + \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \sum\limits_{n = 1}^\infty {x\left[ n \right]z^{ - n} } = x\left[ 0 \right] =x[0]+z→∞lim​n=1∑∞​x[n]z−n=x[0]

初值定理的证明比较简单， 直接根据z变换公示，  可以看到当z 趋向于无穷大的时候，  累加和中的所有项， 除了x[0]之外都等于0， 所以最终该极限都与x[0]。

这个证明中要求x[n]是因果序列，  因此z变换中不包含有z的正幂次项， 所以z趋向于无穷大时， 表达式会收敛到0。  当X(z)是有理分式的时， 等于分子多项式除以分母多项式。 要求分子的阶次小于等于分母的阶次。

1.2.2 终值定理证明

（1）数学证明

  根据 z 变换的时移特性：
$Z\left\{x\left[n+1\right]-x\left[n\right]\right\}=zX\left(z\right)-zx\left[0\right]-X\left[z\right]$ = ( z − 1 ) X ( z ) − z x [ 0 ] = \left( {z - 1} \right)X\left( z \right) - zx\left[ 0 \right] =(z−1)X(z)−zx[0]

  取 z → 1 z \to 1 z→1 极限之后：
lim ⁡ z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) = lim ⁡ z → 1 z x [ 0 ] + lim ⁡ z → 1 ∑ n = 0 ∞ { x [ n + 1 ] − x [ n ] } z − n \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {z - 1} \right)X\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} zx\left[ 0 \right] + \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left\{ {x\left[ {n + 1} \right] - x\left[ n \right]} \right\}z^{ - n} } z→1lim​(z−1)X(z)=z→1lim​zx[0]+z→1lim​n=0∑∞​{x[n+1]−x[n]}z−n = x [ 0 ] + { x [ 1 ] − x [ 0 ] } + { x [ 2 ] − x [ 1 ] } + { x [ 3 ] − x [ 2 ] } + ⋯ = x\left[ 0 \right] + \left\{ {x\left[ 1 \right] - x\left[ 0 \right]} \right\} + \left\{ {x\left[ 2 \right] - x\left[ 1 \right]} \right\} + \,\left\{ {x\left[ 3 \right] - x\left[ 2 \right]} \right\} + \cdots =x[0]+{x[1]−x[0]}+{x[2]−x[1]}+{x[3]−x[2]}+⋯ = x [ 0 ] − x [ 0 ] + x [ ∞ ] = x [ ∞ ] = x\left[ 0 \right] - x\left[ 0 \right] + x\left[ \infty \right] = x\left[ \infty \right] =x[0]−x[0]+x[∞]=x[∞]

下面给出一个终值定理的简明证明。【ZIP1652803841.ZIP-终值定理证明】

• 对于z变换的终值定理， 这里 给出一个简明的是数学证明。 首先，利用z变换的位移特性， 对于序列的前向差分进行z变换， 便可以得到变换域中的前向差分表达式。 然后对z取极限1， 此时对应的z变换表达式就变成了关于差分序列的累加和。 通过合并其中相同的项， 最终剩下x，无穷大。 这是一个简明的证明过程。
• 

（2）利用留数进行证明

  根据终值定理可以看出 $x\left[\infty \right]$ 被定义为 $X\left(z\right)$ 在 z = 1 z = 1 z=1 处的留数。 如果 $X\left(z\right)$ 存在 z = 1 z = 1 z=1 处的一阶极点， 那么对 $X\left(z\right)$ 进行因式分解时，就会包含有 $z/\left(z-1\right)$ 对应的多项式。 X ( z ) = k 0 z z − 1 + ∑ r = 1 m k r z z − p r X\left( z \right) = {{k_0 z} \over {z - 1}} + \sum\limits_{r = 1}^m {{{k_r z} \over {z - p_r }}} X(z)=z−1k0​z​+r=1∑m​z−pr​kr​z​ 如果 $X\left(z\right)$ 的所有极点，处理 z = 1 z = 1 z=1 之外都位于单位圆内，因此上述表达式对应的 $x\left[n\right]$ x [ n ] = k 0 u [ n ] + ∑ r = 1 m p r n u [ n ] x\left[ n \right] = k_0 u\left[ n \right] + \sum\limits_{r = 1}^m {p_r^n u\left[ n \right]} x[n]=k0​u[n]+r=1∑m​prn​u[n] 中，除了第一项之外，其它各项都是指数衰减序列。对于第一项的系数 $k$ k 0 = R e s [ X ( z ) z ] z = 1 = lim ⁡ z → 1 ( z − 1 ) ⋅ X ( z ) z = lim ⁡ z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) k_0 = {\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {{{X\left( z \right)} \over z}} \right]_{z = 1} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {z - 1} \right) \cdot {{X\left( z \right)} \over z} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {z - 1} \right)X\left( z \right) k0​=Res[zX(z)​]z=1​=z→1lim​(z−1)⋅zX(z)​=z→1lim​(z−1)X(z) 所以 x [ ∞ ] = k 0 = lim ⁡ z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) x\left[ \infty \right] = k_0 = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {z - 1} \right)X\left( z \right) x[∞]=k0​=z→1lim​(z−1)X(z)

对于终值定理的另外一个解释， 可以从对X(z)因式分解谈起。 对于因果序列x[n]的z变换X(z)进行因式分解， 假设它具有一个z=1处的极点， 以及其他单位圆内的极点， 可以分解成如下的因式。 这些因式对应的因果序在这里给出。  可以看出，当n趋向于无穷打的时候， 最终只剩下k0。 根据z反变换因式分解方法中各项系数计算公式， 可以知道k0就是这个极限。 由此可以得到终值定理的一个比较直观的证明。

通过这个证明，我们也知道， 在应用终值定理的时候， 需要保证X(z)所有的极点都位于单位圆内。  否则x[n]在n趋向于无穷打的时候会发散。

1.3 应用条件

1.3.1 初值定理应用条件

  初值定理是针对因果序列 $x\left[n\right]$ ，即当 n < 0 n < 0 n<0 时， x [ n ] = 0 x\left[ n \right] = 0 x[n]=0 。它的 z 变换中不包含有 z 的正幂次项。如果 $X\left(z\right)$ 是有理分式， 则要求它的分子多项式阶次小于等于分母多项式的阶次。

1.3.2 终值定理应用条件

  在应用终值定理之前，需要判断 $X\left(z\right)$ 对应的序列 $x\left[n\right]$ 在 n 趋向于无穷远时， 存在极限。 这要求 $X\left(z\right)$ 所有的极点都位于单位圆内， 如果在单位圆上存在极点， 也只能再 z = 1 z = 1 z=1 处存在一个一阶极点。

初值定理要求X(z)的分子多项式阶次 小于等于分母多项式的阶次。 终值定理要求X(z)的极点 都位于单位圆内， 如果单位圆上存在极点， 也只在z=1处存在一个极点。

这里给出两个例题， 分别求取序列的初值和终值。

2.1 求序列的初值

  已知序列 $x\left[n\right]$ 的 z 变换为 X ( z ) = 3 z 2 + 4 z + 5 6 z 2 + 1 X\left( z \right) = {{3z^2 + 4z + 5} \over {6z^2 + 1}} X(z)=6z2+13z2+4z+5​ 求它的初值 $x\left[0\right]$ 。

  ◎ 求解： 根据 z 变换的初值定理，可知 x [ 0 ] = lim ⁡ z → ∞ X ( z ) = lim ⁡ z → ∞ 3 z 2 + 4 z + 5 6 z 2 + 1 = 1 2 x\left[ 0 \right] = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } X\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } {{3z^2 + 4z + 5} \over {6z^2 + 1}} = {1 \over 2} x[0]=z→∞lim​X(z)=z→∞lim​6z2+13z2+4z+5​=21​

第一个题是根据x[n]的z变换， 求序列的初值x[0]。 根据z变换初值定理， 令X(z)中z趋向于无穷大， 可以求得极限等于二分之一。 所以x[0]=0.5。

2.2 求序列的终值

  已知序列 $x\left[n\right]$ 的 z 变换为 X ( z ) = z 2 + 2 z + 6 ( z − 1 ) ( z 2 + z + 1 ) X\left( z \right) = {{z^2 + 2z + 6} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z^2 + z + 1} \right)}} X(z)=(z−1)(z2+z+1)z2+2z+6​ 求 $x\left[\infty \right]$ 。

  ◎ 求解： 首先， $X\left(z\right)$ 的极点包括 p 1 = 1 , p 2 , 3 = − 1 ± j 3 2 p_1 = 1,\,\,p_{2,3} = {{ - 1 \pm j\sqrt 3 } \over 2} p1​=1,p2,3​=2−1±j3

在应用终值定理之前， 需要判断改序列是否存在终值。 这里给出了X(z)的三个极点数值， 可以验证这三个极点都位于单位圆上， 因此x[n]不存在终值。 它实际上是一个等幅震荡信号。  这里给出了x[n]的波形。

  在傅里叶变换中， 是否有初始定理和终值定理呢？

已知连续时间信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换 F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t F\left( \omega \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( t \right)e^{ - j\omega t} dt} F(ω)=∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω f\left( t \right) = {1 \over {2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( \omega \right)e^{j\omega t} d\omega } f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ω)ejωtdω 那么， f ( 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) d ω f\left( 0 \right) = {1 \over {2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( \omega \right)d\omega } f(0)=2π1​∫−∞+∞​F(ω)dω f ( + ∞ ) = f ( − ∞ ) = 0 f\left( { + \infty } \right) = f\left( { - \infty } \right) = 0 f(+∞)=f(−∞)=0 如果信号 $f\left(t\right)$ 的终值不等于 0 ，可以知道 ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t = ∞ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {f\left( t \right)} \right|dt} = \infty ∫−∞+∞​∣f(t)∣dt=∞ ， 信号不满足 狄利克雷条件 ，因此信号的终值 应该是 0。

在拉普拉斯变换，z 变换中存在初值定理，终值定理。】】 为什么在傅里叶变换中没有相应的初值定理和终值定理呢？

根据傅里叶反变换公式， 可以知道f(0)等于它的傅里叶变换的积分， 除以2,pi。 计算该值与进行反变换的积分复杂度相同， 比起拉普拉斯变换， z 变换的初始值定理中， 只需要计算极限相比复杂的多， 所以也就不再单独设置初值定理。

如果信号存在傅里叶变换， 根据狄利克雷条件， 它应该满足绝对可积， 所以要求信号在 t 趋向于无穷的时候等于0， 所以也就无需设置对应的终值定理了。

  对于前面应用举例中的序列终值问题， 虽然判断它不存在终值， 那么请思考一下， 根据终值定理计算出的数值是多少？ 它代表着什么呢？

  本文讨论了 z 变换的初值定理和终值定理。

【sss_1040_617.MPG】这里介绍的z变换初值与终值定理， 在系统特性分析中具有很重要的应用。

■ 相关文献链接:

• 狄利克雷条件

● 相关图表链接:

• [图2.2.1 序列xn

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