第五章 线性系统的频域分析与校正

习题与解答

5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。

(a) (b)

图5-75 R-C网络

解 (a)依图：

(b)依图：

5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出和稳态误差

(1)

(2)

解 系统闭环传递函数为: 图5-76 系统结构图

频率特性:

幅频特性:

相频特性:

系统误差传递函数:

则

(1)当时, ，rm=1

则

(2) 当 时:

5-3 若系统单位阶跃响应

试求系统频率特性。

解

则

频率特性为

5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线：

解

幅频特性如图解5-4(a)。

幅频特性如图解5-4(b)。

图解5-4

幅频特性如图解5-4(c)。

5-5 已知系统开环传递函数

试分别计算 和 时开环频率特性的幅值和相角。

解

计算可得

5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。

(1)

(2)

解 (1)

取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形

三个特殊点： ① ω=0时，

② ω=0.25时,

③ ω=∞时,

幅相特性曲线如图解5-6(1)所示。

图解5-6(1)Nyquist图 图解5-6(2) Nyquist图

(2)

两个特殊点： ① ω=0时，

② ω=∞时,

幅相特性曲线如图解5-6(2)所示。

5-7 已知系统开环传递函数

；

当时，，；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式。

解

先绘制的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到幅相曲线。的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。的幅相曲线如图解5-7(c)所示。

依题意有： ， ，因此。

另有：

可得： ，，。

所以：

5-8 已知系统开环传递函数

试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。

解 的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。

变化时，有

分析平面各零极点矢量随的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。

5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。

(1) ；

(2) ；

(3)

(4)

(5)

解 (1)

图解5-9(1) Bode图 Nyquist图

(2)

图解5-9(2) Bode图 Nyquist图

(3)

图解5-9(3) Bode图 Nyquist图

(4)

图解5-9(4) Bode图 Nyquist图

(5)

图解5-9(5) Bode图 Nyquist图

5-10 若传递函数

式中，为中，除比例和积分两种环节外的部分。试证

式中，为近似对数幅频特性曲线最左端直线(或其延长线)与0dB线交点的频率，如图5－77所示。

证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为。

题意即要证明的对数幅频曲线与0db交点处的频率值。因此，令

，可得 , 故 ，证毕。

5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。要求：

(1)写出对应的传递函数；

(2)概略绘制对应的对数相频特性曲线。

图 5－78 5－11题图

解 (a) 依图可写出：

其中参数： ，

则：

图解5-11(a) Bode图 Nyquist图

(b) 依图可写出

图解5-11(b) Bode图 Nyquist图

(c)

图解5-11(c) Bode图 Nyquist图

5-12 已知、和均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数

的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。

解：(1)

则：

图5-79 5-12题图

(2)

,

(3)

(4)

将代入得：

对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：

图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图

5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数如下(按自左至右顺序)。

解 题5-13计算结果列表

题号

开环传递函数

闭环

稳定性

备注

1

0

-1

2

不稳定

2

0

0

0

稳定

3

0

-1

2

不稳定

4

0

0

0

稳定

5

0

-1

2

不稳定

6

0

0

0

稳定

7

0

0

0

稳定

8

1

1/2

0

稳定

9

1

0

1

不稳定

10

1

-1/2

2

不稳定

5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：

；

(1)时，值的范围；

(2)时，值的范围；

(3)值的范围。

解

令 ，解出，代入表达式并令其绝对值小于1

得出： 或

(1)时，；

(2)时，；

(3)值的范围如图解5-14中阴影部分所示。

5-15 已知系统开环传递函数

试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15(a)所示。的起点、终点为：

与实轴的交点：

令 可解出

代入实部

概略绘制幅相特性曲线如图解5-15(b)所示。根据奈氏判据有

所以闭环系统不稳定。

5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中

试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。

解 内回路开环传递函数:

大致画出的幅相曲线如图解5-16所示。可见不会包围(-1,j0)点。

即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点(即开环极点)在右半S平面的个数为0。

由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围(-1,j0)点的圈数 N=-1。根据劳斯判据

系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。

5-17 已知系统开环传递函数

试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。

的起点、终点为：

幅相特性曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数，小于不稳定惯性环节的时间常数，故呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据

表明闭环系统不稳定。

5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当变化时，的变化趋势：

绘出幅相特性曲线如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据

表明闭环系统不稳定。

5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为

(1)

(2)

(3)

(4)

试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度和幅值裕度。

解 (1)

画Bode图得：

图解5-19 (1) Bode图 Nyquist图

(2)

画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系统不稳定。

由Bode图得：

令： 解得

令： 解得

图解5-19 (2) Bode图 Nyquist图

(3)

画Bode图得： 系统临界稳定。

图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图

(4)

画Bode图得：

图解5-19(4) Bode图

系统不稳定。

5-20 设单位反馈控制系统的开环传递函数为

试确定相角裕度为45°时的α值。

解

开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在Ａ点：

即： (1)

要求相位裕度

即：

(2)

联立求解(1)、(2)两式得：， 。

5-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求

(1) 写出系统开环传递函数；

(2) 利用相角裕度判断系统的稳定性；

(3) 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。

解(1)由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下：

(2)系统的开环相频特性为

截止频率

相角裕度

故系统稳定。

(3)将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数

其截止频率

而相角裕度

故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得

=

所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。

5-25 对于典型二阶系统，已知参数，，试确定截止频率和相角裕度。

解 依题意，可设系统的开环传递函数为

绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-25所示，得

5-26 对于典型二阶系统，已知％=15％，，试计算相角裕度。

解 依题意，可设系统的开环传递函数为

依题

联立求解

有

绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-26所示，得

5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数

试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。

解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db

交接频率： , ,

应用尼柯尔斯曲线得：

ω

0.01

0.05

0.1

0.3

0.6

3

10

20

30

40

50

60

70

80

100

|G|db

-15

-2

4

13

19

24

15

7

2

-3

-7

-10

-13

-16

-20

88

85

83

70

54

-23

-94

-127

-143

-151

-156

-160

-163

-164

-166

M (db)

-15

-4.5

-2

-.75

-0.6

-0.5

0

1.8

4.3

2.3

-3.4

-7.5

-11

-16

-20

69

48

30

12

5

-1

-11

-28

-53

-110

-140

-152

-158

-162

-165

图解5-27 Bode图 Nyquist图

5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中

图5-83 某控制系统结构图

试按以下数据估算系统时域指标σ％和ts。

(1)γ和ωc

(2)Mr和ωc

(3)闭环幅频特性曲线形状

解 (1)

查图5-56 得 秒

(2) 根据,估算性能指标

当 ω=5 时: L(ω)=0, (ω)=-111°

找出: , =6

查图5-62 得 秒

(3) 根据闭环幅频特性的形状

ω

0.3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

L(db)

36

18

9.5

5

3

0

-2

-4

-5

-7

-20

(°)

-142.5

-130

-118.5

-114

-111

-111

-112.5

-115.5

-118.5

-124

-148

M(db)

0

0.68

1

1.05

0

1.1

-2.1

-3.3

-4

-5.5

-19.3

令 或

秒

5-29 已知控制系统结构图如图5-84所示。当输入时，系统的稳态输出 。试确定系统的参数。

解 系统闭环传递函数为

令

联立求解可得 ，。

采用串联迟后校正。试探，使

取

取

取

取

过作，使；过画水平线定出；过作-20dB/dec线交0dB线于。可以定出校正装置的传递函数

校正后系统开环传递函数

验算：

5-35 设单位反馈系统的开环传递函数为

(1)若要求校正后系统的相角裕度为30°，幅值裕度为10～12(dB)，试设计串联超前校正装置；

(2)若要求校正后系统的相角裕度为50°，幅值裕度为30～40(dB)，试设计串联迟后校正装置。

解

(1) 依题作图未校正系统的对数幅频特性曲线如图解5-35(a)所示

校正前： ,

(系统不稳定)

超前校正后截止频率大于原系统，而原系统在之后相角下降很快，用一级超前网络无法满足要求。

(2) 设计迟后校正装置

经试算在处有

∴ 取

对应

在 以下24.436dB画水平线，左延10dec到对应ω=处,作线交0dB线到E：，因此可得出迟后校正装置传递函数：

试算：

由Bode图：

幅值裕度h不满足要求。为增加，应将高频段压低。重新设计：使滞后环节高频段幅值衰减40dB()。求对应处的

查惯性环节表,在处：

以交0dB线于E：()，得出滞后校正装置传递函数：

在处:

验算：

(满足要求)

因此确定：

5-36 设单位反馈系统的开环传递函数

要求校正后系统的静态速度误差系数Ｋv≥5(rad/s)，截止频率ωc≥2(rad/s)，相角裕度γ≥45°，试设计串联校正装置。

解 在以后，系统相角下降很快，难以用超前校正补偿；迟后校正也不能奏效，故采用迟后-超前校正方式。根据题目要求，取

，

原系统相角裕度

最大超前角

查教材图5-65(b) 得： ，

过作，使；过作20dB/dec线并且左右延伸各3倍频程，定出、，进而确定、点。各点对应的频率为：

有

验算：

5-37 已知一单位反馈控制系统，其被控对象G0(s)和串联校正装置Gc(s)的对数幅频特性分别如图5-86 (a)、(b)和(c)中和所示。要求：

(1)写出校正后各系统的开环传递函数；

(2)分析各对系统的作用，并比较其优缺点。

解 (a) 未校正系统开环传递函数为

采用迟后校正后

画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(a)所示。

有 ，

可见

(b) 未校正系统频率指标同(a)。采用超前校正后

画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(b)所示。

可见

(c) 校正前系统的开环传递函数为

画出校正后系统的开环对数幅频特性，可见采用串联滞后—超前校正后

5-38 设单位反馈系统的开环传递函数

(1)如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量σ％=20％，试确定Ｋ值；

(2)根据所求得的Ｋ值，求出系统在单位阶跃输入作用下的调节时间，以及静态速度误差系数；

(3)设计一串联校正装置，使系统的，σ％≤17％，减小到校正前系统调节时间的一半以内。

(1) 由式(5-81):

(1)

由(6-8),

(2)

又 (3)

式(2)、(3)联立：

解出： , (舍去)

∴ 开环增益

∴

(2) 依式(5-82)：

依题有：

(3) 依题要求

由第(2)步设计结果 对应于。由频域时域的反比关系(一定时)，应取:

作出的原系统开环对数幅频特性曲线如图解5-38所示：

(系统不稳定)

在处，原系统相角储备：

需采用迟后—超前校正方法。超前部分需提供超前角

查课本图5-65(b),对应超前部分应满足：

在处定出Ｃ使，过Ｃ作+20dB/dec直线(D、E相距10倍频，C位于D、E的中点)，交出D、E，得

定F点使,过F作-20dB/dec斜率直线交频率轴于G，得

验算：

查图5-61 (符合要求)

得出满足要求的串联校正装置传递函数：

5-39 图5-87为三种推荐的串联校正网络的对数幅频特性，它们均由最小相角环节组成。若原控制系统为单位反馈系统，其开环传递函数

试问：

(1)这些校正网络中，哪一种可使校正后系统的稳定程度最好？

(2)为了将12Hz的正弦噪声削弱左右，你确定采用哪种校正网络？

解 (1)

(a) 采用迟后校正时，校正装置的传递函数为

校正后系统开环传递函数为

画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：

截止频率

相角裕度 (系统不稳定)

(b) 采用超前校正时，校正装置的传递函数为

校正后系统开环传递函数为

画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：

截止频率

相角裕度

(c) 采用迟后-超前校正时，校正装置的传递函数为

校正后系统开环传递函数为

画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：

截止频率

相角裕度

可见，采用迟后校正时系统不稳定；采用迟后-超前校正时稳定程度最好，但响应速度比超前校正差一些。

(2)确定使12Hz正弦噪声削弱10倍左右的校正网络

时，

对于单位反馈系统，高频段的闭环幅频特性与开环幅频特性基本一致。从Bode图上看，在处，有

衰减倍数，可见，采用迟后-超前校正可以满足要求。

5-40 某系统的开环对数幅频特性如图5-88所示，其中虚线表示校正前的，实线表示校正后的。要求

(1) 确定所用的是何种串联校正方式，写出校正装置的传递函数；

(2) 确定使校正后系统稳定的开环增益范围；

(3) 当开环增益时，求校正后系统的相角裕度和幅值裕度。

解(1)由系统校正前、后开环对数幅频特性曲线可得校正装置的对数幅频特性曲线如图解5-40所示。

从而可得

所用的是串联迟后-超前校正方式。

(2)由图5-88中实线可写出校正后系统的开环传递函数

校正后系统闭环特征方程为

列劳思表

1

1000

110

1000K

(11000-1000K)/110

→ K<110

1000K

→ K>0

所以有 。

(3)当时，由图5-88可看出

所以有

113

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