熄灯问题POJ1222的一些思考

这是枚举算法应用的一个例子，该问题理解起来不算复杂。具体的问题我简单的贴一个图：

这里我贴上代码，配有简单的注释，但是这个问题我一直在纠结是不是关灯的方式是有且仅有一个解，于是做了一个小小的测试，令人惊讶的是确实每次都恰好有一个解，网上好像大部分没有给出具体的数学证明，这里我抛砖引玉一下。先附上POJ已经AC的代码：

#include<iostream>
using namespace std;//这里首先把press和puzzle都做一个padding的操作，为了防止越界，5*6变成6*8
//这是检验press的第一行能否完成熄灯任务的函数
bool guess(int puzzle[][8], int press[][8])
{
// row, colint r, c; for (r = 1; r < 5; r++){for (c = 1; c < 7; c++)
//从枚举的press第一行中选取后，press的第二行知道第五行都是确定的，因为为了关闭上一行所有的灯只有唯一的方法，注意写的第x行是没有考虑padding的，不然手动加一，☺️press[r + 1][c] = (press[r][c] + press[r - 1][c] + press[r][c - 1] + press[r][c + 1] + puzzle[r][c]) % 2;}
//这里判断按照这样的情况能否把第五行关闭for (c = 1; c < 7; c++){if (puzzle[5][c] != (press[5][c] + press[5][c - 1] + press[5][c+1] + press[4][c]) % 2)return false;}return true;
}//枚举press的第一行的所有情况，运用位操作比6次循环要节省时间复杂度
void enumerate(int puzzle[][8], int press[][8])
{int c;for (c = 1; c < 7; c++)press[1][c] = 0;while (guess(puzzle, press) == false){press[1][1]++;for(c = 1; c < 6; c++){// press[1][1]++;if (press[1][c] > 1){press[1][c] = 0;press[1][c+1]++;}}}return;
}int main()
{int puzzle[6][8], press[6][8];//row, colint r, c, cases; //zero pad (1,1) (1,0)  pressfor (c = 0; c < 8; c++){press[0][c] = 0;}for(r = 0; r < 6; r++){press[r][0] = 0;press[r][7] = 0;}cin >> cases;for(int i = 0; i < cases; i++){for (int r = 1; r < 6; r++){for (int c = 1; c < 7; c++){cin >> puzzle[r][c];}}
//这里在不同的编译器可能会遇到问题，在OJ平台上第一天通过了，但是第二天又没通过，主要是输出格式的问题，结果是可以的enumerate(puzzle, press);cout << "PUZZLE #" << i+1 << endl;for (int r = 1; r < 6; r++){for (int c = 1; c < 7; c++){cout << press[r][c] << " ";}cout << endl;}}return 0;
}

好了接下来我把代码稍微改一下，为了显示每一种情况下究竟有多少种可能的结果，我试了一些都是1，我比较较真，所以想从数学上证明这个结论：

#include <iostream>
using namespace std;// function to judge whether the choosen press array can turn off the light
//press array, puzzle array
bool guess(int puzzle[][8], int press[][8])
{int i, j;for (i = 1; i < 5; i++){for (j = 1; j < 7; j++)press[i+1][j] = (puzzle[i][j] + press[i][j] + press[i - 1][j] + press[i][j - 1] + press[i][j + 1]) % 2;}for (j = 1; j < 7; j++)if (puzzle[5][j] != (press[5][j - 1] + press[5][j + 1] + press[5][j] + press[4][j]) % 2)return false;return true;
}//function to enumerate all the possibility of press col 1
int enumerate(int puzzle[][8], int press[][8])
{int i, j;int n = 64;
//这里total是关键，就是能够完成熄灯的所有可能方法数int total = 64;for (j = 1; j < 7; j++)press[1][j] = 0;while(--n) {if(guess(puzzle, press) == false) {total--;press[1][1]++;for (i = 1; i < 6; i++)if (press[1][i] > 1) {press[1][i] = 0;press[1][i + 1]++;}}press[1][1]++;for (i = 1; i < 6; i++)if (press[1][i] > 1) {press[1][i] = 0;press[1][i + 1]++;}}return total;
}int main()
{int c, r; //col rowint press[6][8], puzzle[6][8];int cases;cin >> cases;for(c = 0; c < 8; c++){press[0][c] = 0;}for (r = 0; r < 6; r++){press[r][0] = press[r][7] = 0;}// input the puzzle matrixfor (int j = 0; j < cases; j++){for (r = 1; r < 6; r++){for (c = 1; c < 7; c++){cin >> puzzle[r][c];}}cout << endl;cout << enumerate(puzzle, press) << endl;return 0;
}

我猜大家都会得到1的结果，那么究竟是为什么呢？？？

对于任意的puzzle矩阵puzzle[6][8],他的第一行在遇到了press[6][8]的第一行，会映射成一个不同的状态（64种状态之一），然后第一行确定了之后，第二行的press矩阵就定下来了，因为要完全关闭第一行的灯，即把puzzle的第一行有效位置置0，同样的道理可以到第四行，此时第四行的puzzle也决定了第五行的press的取值，这时候要满足第四行press和第五行的press共同作用后能够保证第五行的puzzle完全置0，此时的解就是有且仅有一个的。感觉说的还是不太清楚，之后补上一个更加详细的。

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