【证明题】（一）微分中值定理

微分中值定理

可导 →\to→ 费马 →\to→ 罗尔 {拉氏构造原函数柯西交叉原函数\begin{cases} 拉氏 & & {构造原函数} \\ 柯西 & & {交叉原函数} \end{cases}{拉氏柯西构造原函数交叉原函数

费马引理：设 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 某邻域 U(x0)U(x_0)U(x0) 内有定义，且在 x0x_0x0 处可导，若 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 取到极值，则 f′(x0)=0f^{'}(x_0)=0f′(x0)=0

证明：
设 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处取极大值，则 ∀x∈U(x0)\forall x \in U(x_0)∀x∈U(x0)，均有 f(x)≤f(x0)f(x)≤f(x_0)f(x)≤f(x0)
又 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处可导，则 f−′(x0)f_{-}^{'}(x_0)f−′(x0) 与 f+′(x0)f_{+}^{'}(x_0)f+′(x0) 都存在且相等
f−′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0≥0，f+′(x0)=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0≤0，f_{-}^{'}(x_0) = \lim_{x \to x_{0}^{-} }\frac{ f(x) - f(x_0) }{ x-x_0 } ≥ 0， f_{+}^{'}(x_0) = \lim_{x \to x_{0}^{+} }\frac{ f(x) - f(x_0) }{ x-x_0 }≤ 0， f−′(x0)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)≥0，f+′(x0)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)≤0， f−′(x0)=f+′(x0)=0f_{-}^{'}(x_0)=f_{+}^{'}(x_0)=0f−′(x0)=f+′(x0)=0，所以 f′(x0)=0f^{'}(x_0)=0f′(x0)=0

罗尔定理：设 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 连续，在开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 可导，若 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，使 f′(ϵ)=0f^{'}(\epsilon)=0f′(ϵ)=0

证明：
由于 f(x)∈c[a,b]f(x) \in c[a,b]f(x)∈c[a,b]，所以 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 存在最大值 MMM 和最小值 mmm
(1) 当 M=mM=mM=m 时， f(x)=Mf(x)=Mf(x)=M，此时 f′(x)=0f^{'}(x)=0f′(x)=0，所以 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，使得 f′(ϵ)=0f^{'}(\epsilon)=0f′(ϵ)=0
(2) 当 M>mM>mM>m 时，由于 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则 MMM 与 mmm 至少有一个是在 (a,b)(a,b)(a,b) 内部取得
不妨设 MMM 在 (a,b)(a,b)(a,b) 内部取得，即 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，使 f(ϵ)=Mf(\epsilon)=Mf(ϵ)=M，
又由于 f(x)f(x)f(x) 在 ϵ\epsilonϵ 处可导且取到极大值，故 f′(ϵ)=0f^{'}(\epsilon)=0f′(ϵ)=0

拉格朗日：设 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 连续，在开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 可导，则 f(b)−f(a)=f′(ϵ)(b−a)f(b)-f(a)=f^{'}(\epsilon)(b-a)f(b)−f(a)=f′(ϵ)(b−a)

证明：微分方程还原函数 g(x)=f(x)(b−a)−[f(b)−f(a)]xg(x)=f(x)(b-a) - [f(b)-f(a)]xg(x)=f(x)(b−a)−[f(b)−f(a)]x，
由于 g(x)g(x)g(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，(a,b)(a,b)(a,b) 上可导，g(a)=g(b)=bf(a)−af(b)g(a)=g(b)=bf(a)-af(b)g(a)=g(b)=bf(a)−af(b)，
所以 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，使 g′(ϵ)=0g^{'}(\epsilon)=0g′(ϵ)=0，结论得证

柯西定理：设 F(x),G(x)F(x), G(x)F(x),G(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 连续，在开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 可导，若 ∀x∈(a,b),G′(x)≠0\forall x \in (a,b), G^{'}(x)≠0∀x∈(a,b),G′(x)=0，则 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，使 F(b)−F(a)G(b)−G(a)=F′(ϵ)G′(ϵ)\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F^{'}(\epsilon)}{G^{'}(\epsilon)}G(b)−G(a)F(b)−F(a)=G′(ϵ)F′(ϵ)

证明：交叉构造原函数 g(x)=F(x)[f(b)−f(a)]−f(x)[F(b)−F(a)]g(x)=F(x)[f(b)-f(a)]-f(x)[F(b)-F(a)]g(x)=F(x)[f(b)−f(a)]−f(x)[F(b)−F(a)]，
由于 g(x)g(x)g(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，(a,b)(a,b)(a,b) 上可导，g(a)=g(b)=F(a)f(b)−f(a)F(b)g(a)=g(b)=F(a)f(b)-f(a)F(b)g(a)=g(b)=F(a)f(b)−f(a)F(b)，
所以 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，使 g′(ϵ)=0g^{'}(\epsilon)=0g′(ϵ)=0，结论得证

介值 →\to→ 积分中值

积分中值：设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 ∃ϵ∈[a,b]\exists \epsilon \in [a,b]∃ϵ∈[a,b]，使 ∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\epsilon)(b-a)∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)

证明：因为 f(x)∈c[a,b]f(x) \in c[a,b]f(x)∈c[a,b]，所以 ∃m,M\exists m, M∃m,M，使 m≤f(x)≤Mm≤f(x)≤Mm≤f(x)≤M
m(b−a)=∫abmdx≤∫abf(x)dx≤∫abMdx=M(b−a)，即m≤∫abf(x)dxb−a≤Mm(b-a)=\int_{a}^{b}mdx≤\int_{a}^{b}f(x)dx≤\int_{a}^{b}Mdx=M(b-a)，即 m≤\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}≤Mm(b−a)=∫abmdx≤∫abf(x)dx≤∫abMdx=M(b−a)，即m≤b−a∫abf(x)dx≤M 故 ∃ϵ∈[a,b]\exists \epsilon \in [a,b]∃ϵ∈[a,b]，使 f(ϵ)=∫abf(x)dxb−af(\epsilon)=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}f(ϵ)=b−a∫abf(x)dx，即 ∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\epsilon)(b-a)∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)

拉格朗日 →\to→ 积分中值推广

积分中值推广：设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，使 ∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\epsilon)(b-a)∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)

证明：令 F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_{a}^{x}f(t)dtF(x)=∫axf(t)dt，F(x)F(x)F(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，(a,b)(a,b)(a,b) 内可导，
故 ∃ϵ∈(a,b)\exists \epsilon \in (a,b)∃ϵ∈(a,b)，F(b)−F(a)=F′(ϵ)(b−a)F(b)-F(a)=F^{'}(\epsilon)(b-a)F(b)−F(a)=F′(ϵ)(b−a)，即 ∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\epsilon)(b-a)∫abf(x)dx=f(ϵ)(b−a)

单中值

证明 ∃ϵ\exist \epsilon∃ϵ，f(n)(ϵ)=0f^{(n)}(\epsilon)=0f(n)(ϵ)=0
多次罗尔定理：f(a)=f(b)=f(c)→f′′(ϵ)=0f(a)=f(b)=f(c) \to f^{''}(\epsilon)=0f(a)=f(b)=f(c)→f′′(ϵ)=0

一阶导数中值定理问题

结论含 ϵ,a,b\epsilon, a, bϵ,a,b，分离后 a,ba,ba,b，构造原函数

凑微分法

还原函数法

二阶导数中值定理问题

凑微分法

还原函数法 + 直接积分法

双中值

ϵ，η\epsilon，\etaϵ，η 可能相等

ϵ，\epsilon，ϵ，可能相等：多次在同一区间使用中值定理（拉格朗日/柯西）
分离，无 (b-a) 两次拉格朗日/柯西，()′()′\frac{(\quad)^{'}}{(\quad)^{'}}()′()′ 双柯, 否则双拉，高阶导数泰勒中值

ϵ，η\epsilon，\etaϵ，η 不可相等

ϵ，\epsilon，ϵ，不可相等：多次在不同区间使用中值定理（临界点）
临界点：待定法强制相等或第1问提供

中值不等式

拉格朗日证明题

泰勒公式证明题

参考资料

【心一学长】证明题大专题
证明提大专题-中值定理（双中值）
证明题大专题-泰勒公式证明题