读《数学辞海》编辑委员会之《数学辞海 第三卷》
《数学辞海》编辑委员会. 数学辞海 第三卷.
ISBN: 978-7-81050-612-0
这次来聊《数学辞海 第三卷》，细心看本书 ISBN 的话你就会发现，这本书又换了一个出版社。不过这倒不影响本书的内容安排。因为《数学辞海》只是分不同出版社出版，并不是分不同出版社分别编纂。按照统一的内容大纲的安排，这一卷的主题是分析学和微积分方程。
“分析学”大概是我纠结最久的一个数学名词。“分析”一词不像代数、几何、概率、组合等名词那么好懂，因为它有歧义。一般来说，把对象整体拆开研究就能叫做“分析”，在实际使用中“分析”一词更是和“研究”画上了等号。在这样的语境背景之下，“数学分析”就着实是一个让人费解的词。它表示用数学分析么？可数学的哪个子学科不是在用数学做分析呢？还有“分析学”，这个名称所能囊括的范畴实在是太广了。如果按字面意思理解，“分析学”应当是一切数学和科学中分而析之研究方法的总论。
但实际上，以上的理解都有问题。“分析学”实际上是指建立在无穷和极限概念上的数学分支，一般来说包含序列、微分、积分三个部分。虽然微积分中确实存在先分而析之，再合并总体的思维过程，但把这个领域叫“分析学”实在是不妥。不过这个名字已经叫了很久了，只好从俗。
分析学本质上是研究抽象的无穷极限的，这点和代数学类似。实数上的微积分、复数上的微积分、矩阵上的微积分等都是分析学的研究对象，但分析学却不仅仅研究这些作为特例的分析学，也研究抽象的一般的微积分（或者说一般的极限理论）。由于极限的概念和直观上的“连续”有关，因而分析学常常被视为研究连续的数学。而较少涉及极限概念的代数、数理逻辑、组合学等诸学科则被视为研究离散的数学。如果硬要这么分就会发现，其实数学中或者人类所能理解的知识中，离散的情况是大多数，连续的情况相对较少。甚至关于连续的知识本身也是离散的。
虽然分析学本质上的研究对象是抽象的无穷极限，但实际中带一点抽象意味的泛函分析算是一门比较“高级”的课程。在学这门课程之前，往往需要先修一堆具体的分析学，例如实分析和复分析。实分析是实数域上的分析学，算是发展最早的一门分析学。《数学辞海 第一卷》中的数学分析部分实际上就是实分析的开头。出于工程应用的目的，一般非数学专业学到会算实数域上的微分和黎曼-斯蒂尔杰斯积分就可以了，很少讲到专为“病态函数”准备的勒贝格积分。但我个人觉得其实勒贝格积分的基本思想还是值得了解一下的，因为它引出了测度论。而测度论又是另一门工程常用的数学学科——概率论的基础。
复分析虽然只是把分析方法用到了复数上，但其知识结构和实分析非常不同。复分析不太关注各种“病态函数”，因为复数域上比较规整的函数的性质就很复杂了。因而复分析的基础知识主要聚焦整函数和亚纯函数的性质。
本卷书除了分析学以外还包含微积分方程的内容。虽然微积分方程中的很多概念是基于分析学的概念得到的，但微积分方程本身不宜算作分析学的一部分，因为研究的对象其实很不一样。例如实分析给出了实函数极限的概念，以及实函数的微分运算、积分运算等，实数域上的微分方程则研究以实函数为未知对象的包含微积分运算的方程。实分析当中的很多结论其实是不能直接往求解微分方程的问题上用的。不过我自己微积分方程了解的并不多，也没法做更多介绍了。只是知道所谓的“高等数学”所学的一点微积分方程解法，对于现代的微积分研究来说就好像算术之于代数学。
分析学和微积分方程这两个学科算是数学当中的显学，因为物理和实物工程当中用得比较多。可能在不少人的心目中，高中之后的数学就是分析学和微积分方程，而不知代数，更不用说数理逻辑。但根据我个人的经验，对微分和积分运算的理解不到位，很大程度上是因为缺乏数理逻辑和代数的知识。另外，目前在学分析学和微积分方程的时候，大多数人仍然以做计算题为检验标准。但在数值解和符号解都高度依赖计算机求解的现在，这是挺让人费解的。举个例子来说，做 Alpha Go 的人可能自己围棋水平并不高。同理，能做出解方程算法的人可能自己的笔算结果既不准，也不快。锻炼笔算微积分方程的能力实际上就是在锻炼用人力取代计算机的能力。这恐怕不是个好主意。
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