【强连通分量】太空战队

描述 Description

在社会经济高速发展的今天，借助高科技手段，组建太空战队的愿望就快实现了。
战队属下有N个航天员。作为空军选拔上来的佼佼者，每个航天员都有与生俱来的骄傲——他们每个人都认为自己是最强的或者是第二强的。这样，如何分组就成了司令官的难题了。司令官分组的方法是这样的：
步骤1:任意选择一个未被分组的航天员，记为当前航天员.
步骤2:把当前航天员分入一个新的组.
步骤3:如果当前航天员心目中最强的那个航天员（记为Q航天员）还没有被分组，那么把Q航天员分入当前航天员所在组，并把Q航天员作为当前航天员并重复步骤3；如果Q航天员已经被分组，那么重复步骤1，直至所有航天员都被分入了某个组。
司令官想请你帮忙计算：按上面的分组方式，最多/最少能分成几个组。

输入格式 Input Format

第一行一个整数N，表示航天员的数目。
接下来N行每行1个整数，第i+1行的整数a[i]（1<=a[i]<=N）表示第i位航天员心目中最强的航天员。如果a[i]=i，则表示第i个航天员认为自己是最强的。

输出格式 Output Format

一行，用空格隔开的两个整数A，B，表示按照司令官的分组方法最多和最少能够分成多少组.

样例输入 Sample Input [ 复制数据]

4 2 3 4 2

样例输出 Sample Output [ 复制数据]

2 1

时间限制 Time Limitation

每个测试点1s

注释 Hint

组数最多的一种分组过程：
首先把2分入第一组，接下来，按照第3步的要求，3、4应该也被分入第一组。
接下来，把1分入第2组。

组数最少的一种分组过程：
首先把1分入第一组，接下来，按照第3步的要求，2、3、4也应该被分入第一组。

对于50%的数据，N<=1000.
对于100%的数据，N<=100000.

这道题看似简单，实则不然。

很容易看出来的是，最多的个数就是强连通分量的个数。即每次选择一个没有出度的强连通分量然后把它去除，必然是最大解。

证明：

假设强连通分量A无出度，强连通分量B又出度，并有一条边到A。
如果先选择A中的一个点，则B必定被访问，因此组数不会因为B而减少。

分两种情况：当A有入度，则组数不会因为B而减少。

当A无入度，则A和B被分入同一组，组数减1。

综上所述，每次选择有入度的强连通分量，答案总是小于等于每次选择没有入度的强连通分量所得的答案。

因此最大解等于强连通分量个数。

根据以上我们容易发现每次选择无入度的强连通分量，恰好是最小解！

实现方式就是缩点建图。

注意求最小解，我一开始没有严格证明，想当然地数连通分量的个数，忽略了这是有向图的问题。存在这样的反例：

如果是错误的方法，算出来是1。而正确的方法算出来应该是2。很明显左边两个点不能够分到同一组。

#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>long T = 0;
long DFN[100010];
long LOW[100010];
bool Instack[100010];
long Belong[100010];
long Stack[100010];
bool vis[100010];
long cnt = 0;
bool rudu[100010];
long e[100010];
long top = 0;long getint()
{long rs=0;bool sgn=1;char tmp;do tmp=getchar();while (!isdigit(tmp)&&tmp-'-');if (tmp=='-'){tmp=getchar();sgn=0;}do rs=(rs<<3)+(rs<<1)+tmp-'0';while (isdigit(tmp=getchar()));return sgn?rs:-rs;
}void tarjan(long u)
{DFN[u] = LOW[u] = ++T;Instack[u] = true;Stack[++top] = u;if (!DFN[e[u]]){tarjan(e[u]);if (LOW[e[u]] < LOW[u]){LOW[u] = LOW[e[u]];}}else if (Instack[e[u]]){if (DFN[e[u]] < LOW[u]){LOW[u] = DFN[e[u]];}}if (LOW[u] == DFN[u]){long v;cnt ++;do{v = Stack[top--];Belong[v] = cnt;Instack[v] = false;}while (v != u);}
}int main()
{freopen("universe.in","r",stdin);freopen("universe.out","w",stdout);long n = getint();for (long i=1;i<n+1;i++){e[i] = getint();}for (long i=1;i<n+1;i++){if (!DFN[i]){tarjan(i);}}printf("%ld",cnt);for (long i=1;i<n+1;i++){long f = Belong[i];long t = Belong[e[i]];if (f != t){rudu[t] = true;}}long ans2 = 0;for (long i=1;i<cnt+1;i++){if (!rudu[i]){ans2 ++;}}printf(" %ld",ans2);return 0;
}

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