连续型随机变量及其常见分布的分布函数和概率密度
文章目录
- 1. 随机变量的分布函数
- 2. 连续型随机变量及其概率密度
- 3. 重要的连续型随机变量分布
- 3.1 均匀分布
- 3.2 指数分布
- 3.3 正态分布
1. 随机变量的分布函数
背景： 对于非离散型的随机变量XXX，其取值不能一一列举出来，因此就不能像离散型随机变量那样使用分布律描述它。非离散型随机变量有很多种，其中连续型随机变量极其常见，因此我们重点研究连续型随机变量。对于连续性随机变量，在某个点的概率为000，另外，实际中，对于元件的寿命，测量的误差等，研究其落在某个区间的概率更有意义，因此我们引出了随机变量的分布函数
定义： 设XXX是一个随机变量，xxx 是任意实数，函数F(x)=P{X≤x},−∞<x<∞F(x)=P\{X \leq x\}, -\infty<x<\inftyF(x)=P{X≤x},−∞<x<∞ 则为XXX的分布函数。
虽然对于离散型随机变量，我们可以使用分布律来全面地描述它，但为了从数学上能够统一地对随机变量进行研究，因此，我们针对离散型随机变量和非离散型随机变量统一地定义了分布函数。
性质
1oF(x)1^o \quad F(x)1oF(x)是一个不减函数
对于任意实数 x1,x2(x1<x2)x_1,x_2(x1<x_2)x1,x2(x1<x2),有F(x2)−F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0F(x_2)-F(x_1) = P\{x_1<X \leq x_2\} \geq 0F(x2)−F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0 成立
2o2^o\quad2o 0≤F(x)≤1，F(−∞)=0，F(∞)=10\leq F(x)\leq 1，\quad F(-\infty) = 0，\quad F(\infty) = 10≤F(x)≤1，F(−∞)=0，F(∞)=1
3o3^o\quad3o F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x), 即F(x)F(x)F(x) 是右连续的
用分布函数表示事件概率
- P{X≤b}=F(b)P\{X\leq b\}=F(b)P{X≤b}=F(b)
- P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)P\{X> a\}=1-P\{X\leq a\} = 1-F(a)P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)
- P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X<=a}=F(b)−F(a)P\{ a<X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X<=a\} = F(b)-F(a)P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X<=a}=F(b)−F(a)
- P{X<b}=F(b−0)P\{X< b\}=F(b-0)P{X<b}=F(b−0)
- P{X≥b}=1−P{X<b}=1−F(b−0)P\{X\geq b\}=1-P\{X< b\} = 1- F(b-0)P{X≥b}=1−P{X<b}=1−F(b−0)
- P{X=b}=P{X≤b}−P{X<b}=F(b)−F(b−0)P\{X = b\}=P\{X \leq b\}-P\{X < b\} = F(b)-F(b-0)P{X=b}=P{X≤b}−P{X<b}=F(b)−F(b−0)
- 注意
- 这里的F(b−0)F(b-0)F(b−0)表示 分布函数F(x)F(x)F(x) 在x=bx=bx=b处理左极限。 同理，F(b+0)F(b+0)F(b+0)表示 分布函数F(x)F(x)F(x) 在x=bx=bx=b处理右极限 。
- 细心的同学也许注意到背景部分提到连续型随机变量在某一个点的概率为0，这里还整 F(b−0)F(b-0)F(b−0) 和 F(b+0)F(b+0)F(b+0) 搞这么麻烦是为了啥？ 原因是这部分内容，对连续型和离散型随机变量都成立，离散型随机变量在某一个点有具体的不为0的概率值，因此不能忽略！
2. 连续型随机变量及其概率密度
定义，如果随机变量XXX的分布函数F(x)F(x)F(x),存在非负函数f(x)f(x)f(x)，使对于任意实数xxx有F(x)=∫−∞xf(t)dt,F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt,F(x)=∫−∞xf(t)dt, 则称XXX 为连续型随机变量 ，其中函数f(x)f(x)f(x)称为XXX的概率密度函数，简称概率密度
概率密度具有以下性质：
1o1^o\quad1o f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0
2o2^o\quad2o ∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1∫−∞+∞f(x)dx=1
3o3^o\quad3o 对于任意实数x1,x2(x1≤x2)x_1,x_2(x_1\leq x_2)x1,x2(x1≤x2) ，Px1<X≤x2=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dx;P{x_1< X\leq x_2}=F(x_2)-F(x_1)= \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx; Px1<X≤x2=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dx;
4o4^o\quad4o 若f(x)f(x)f(x)在xxx处连续，则有F′(x)=f(x).F^{\prime}(x)=f(x).F′(x)=f(x).
连续型随机变量XXX，任取一个指定实数aaa的概率为000，即P{X=a}=0P\{X=a\}=0P{X=a}=0
证明如下：
根据分布函数定义，有 P{X=a}=P{X≤a}−P{X<a}=F(a)−F(a−0)P\{X = a\}=P\{X \leq a\}-P\{X < a\} = F(a)-F(a-0)P{X=a}=P{X≤a}−P{X<a}=F(a)−F(a−0) ,我们知道 F(a−0)F(a-0)F(a−0) 表示 F(x)F(x)F(x) 在x=ax=ax=a处理左极限，即 limx→a−F(x)\lim\limits_{x\rightarrow a^-}F(x)x→a−limF(x) , 由于F(x)F(x)F(x) 在定义域内连续，所以有 F(a−0)=limx→a−F(x)=F(a)F(a-0)=\lim\limits_{x\rightarrow a^-}F(x)=F(a)F(a−0)=x→a−limF(x)=F(a) . ∴P{X=a}=F(a)−F(a−0)=0\therefore P\{X = a\}= F(a)-F(a-0) = 0∴P{X=a}=F(a)−F(a−0)=0
相关推论：
这里虽然 P{X=a}=0P\{X=a\}=0P{X=a}=0 , 但随机变量XXX是可以取到aaa 点的， 也就是说 对于事件AAA，如果其发生的概率P(A)=0P(A)=0P(A)=0, AAA不一定是 不可能事件， 但是如果已经知道AAA 是不可能事件，则必有P(A)=0P(A)=0P(A)=0
连续型随机变量，计算区间概率时，区间端点可有可无，即 P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a≤X<b}P\{a<X\leq b\} = P\{a\leq X\leq b \}=P\{a\leq X<b\}=P\{a\leq X<b\}P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a≤X<b} .
由第二条可知，我们假设 P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=1P\{a<X\leq b\} = P\{a\leq X\leq b \}=1P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=1, 会发现虽然P{a<X≤b}=1P\{a<X\leq b\}=1P{a<X≤b}=1， 但是却不能取到aaa 点，所以得出结论：对于事件AAA，如果其发生的概率P(A)=1P(A)=1P(A)=1，则AAA不一定是必然事件，但是如果已经知道AAA 是必然事件，则必有P(A)=1P(A)=1P(A)=1.
3. 重要的连续型随机变量分布
3.1 均匀分布
若连续型随机变量XXX具有概率密度f(x)={1b−a,a<x<b，0,elsef(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a},\quad a<x<b， \\ 0,\quad else \end{cases}f(x)={b−a1,a<x<b，0,else 则称XXX在区间(a,b)(a,b)(a,b) 上服从均匀分布，记作 X∼U(a,b)\pmb{X\sim U(a,b)}X∼U(a,b)X∼U(a,b)X∼U(a,b)
必要性证明
∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞a0dx+∫ab1b−adx+∫b+∞0dx=xb−a∣ab=1\begin{aligned}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}0dx+\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}dx+\int_{b}^{+\infty}0dx = \left.\frac{x}{b-a}\right|_a^b = 1 \end{aligned}∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞a0dx+∫abb−a1dx+∫b+∞0dx=b−ax∣∣∣∣ab=1
分布函数
F(x)={0,−∞<x≤a,x−ab−a,a<x<b,1,x≥b.\begin{aligned}F(x) = \begin{cases} 0,\quad & -\infty<x\leq a, \\ \frac{x-a}{b-a},\quad & a< x <b, \\ 1,\quad & x\geq b. \end{cases}\end{aligned}F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,b−ax−a,1,−∞<x≤a,a<x<b,x≥b.
性质
落在(a,b)(a,b)(a,b)子区间内的概率，只跟子区间长度有关，跟子区间位置无关，证明很简单，不再赘述
应用
在公交站台的等车时间，针落在坐标纸上的倾斜角等
3.2 指数分布
若连续型随机变量XXX具有概率密度f(x)={1θe−x/θ,0<x，0,else\begin{aligned}f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\quad 0<x， \\ 0,\quad else \end{cases}\end{aligned}f(x)={θ1e−x/θ,0<x，0,else 其中θ>0\theta>0θ>0为常数，则称XXX服从参数为θ\thetaθ的指数分布，记作X∼E(θ)\pmb{X\sim E(\theta)}X∼E(θ)X∼E(θ)X∼E(θ)
必要性证明
∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞00dx+∫0+∞1θe−x/θdx=−e−xθ∣0+∞=1\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}0dx+\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}dx = \left.-e^{-\frac{x}{\theta}}\right|_0^{+\infty} = 1 \end{aligned}∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞00dx+∫0+∞θ1e−x/θdx=−e−θx∣∣0+∞=1
分布函数
F(x)={1−e−x/θ,x>00,else.\begin{aligned} F(x) = \begin{cases} 1-e^{-x/\theta},\quad &x>0 \\0,\quad &else. \end{cases} \end{aligned}F(x)={1−e−x/θ,0,x>0else.
性质
无记忆性，如果XXX是某一元件的寿命，那么已知原件已经使用了sss小时，它总共能用至少s+ts+ts+t 小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能用ttt 小时的概率相等，数学表达式为P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}P\{X>s+t|X>s\} = P\{X>t\}P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}
证明如下
P{X>s+t∣X>s}=P{(X>s+t)∩(X>s)}P{X>s}=P{X>s+t}P{X>s}=1−F(s+t)1−F(s)=1−(1−e−(s+t)/θ)1−(1−e−(s)/θ)=e−t/θ=P{X>t}\begin{aligned} P\{X>s+t|X>s\} &= \frac{P\{(X>s+t)\cap (X>s)\}}{P\{X>s\}} \\ &=\frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}} \\&= \frac{1-F(s+t)}{1-F(s)} \\&= \frac{1-(1-e^{-(s+t)/\theta})}{1-(1-e^{-(s)/\theta})} \\&= e^{-t/\theta} = P\{X>t\}\end{aligned}P{X>s+t∣X>s}=P{X>s}P{(X>s+t)∩(X>s)}=P{X>s}P{X>s+t}=1−F(s)1−F(s+t)=1−(1−e−(s)/θ)1−(1−e−(s+t)/θ)=e−t/θ=P{X>t}
应用
服务系统的服务时间，通话时间，某消耗品的寿命等
3.3 正态分布
若连续型随机变量XXX具有概率密度f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞\begin{aligned}f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} , \quad -\infty<x<+\infty \end{aligned}f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<+∞ 其中μ,(σ>0)\mu,(\sigma>0)μ,(σ>0)为常数，则称XXX服从参数为μ,σ\mu,\sigmaμ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布，记作X∼N(μ,σ2)\pmb{X\sim N(\mu,\sigma^2)}X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)
必要性证明
很明显f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0, 下面证明 ∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1∫−∞+∞f(x)dx=1
令 x−μσ=t\frac{x-\mu}{\sigma} = tσx−μ=t ，则 f(x)=12πσe−t22,dx=σdtf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}, dx = \sigma dtf(x)=2πσ1e−2t2,dx=σdt
∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞+∞12πσe−t22σdt=12π∫−∞+∞e−t22dt\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}\sigma dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{aligned}∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞+∞2πσ1e−2t2σdt=2π1∫−∞+∞e−2t2dt
我们先求∫−∞+∞e−t22dt\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt∫−∞+∞e−2t2dt 的积分，很难直接求出其积分，我们需要用到一个技巧，令I=∫−∞+∞e−t22dtI=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dtI=∫−∞+∞e−2t2dt
I2=∫−∞+∞e−t22dt⋅∫−∞+∞e−u22du(定积分的值与积分变量无关，与被积函数和积分上下限有关)=∫−∞+∞∫−∞+∞e−t2+u22dtdu=∫02π∫0+∞ρe−ρ22dρdθ(利用极坐标求解定积分值)=∫02π−e−ρ22∣0+∞dθ=∫02π1dθ=2π∵I=∫−∞+∞e−t22dt>0∴I=2π\begin{aligned} I^2 &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt \cdot\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{u^2}{2}}du \quad(定积分的值与积分变量无关，与被积函数和积分上下限有关) \\&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \\&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} \rho e^{-\frac{\rho^2}{2}}d\rho d\theta \quad(利用极坐标求解定积分值) \\&=\int_{0}^{2\pi} -e^{-\frac{\rho^2}{2}}|_0^{+\infty} d\theta = \int_{0}^{2\pi}1d\theta \\&= 2\pi \\ &\because I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt>0 \quad \therefore I = \sqrt{2\pi} \end{aligned} I2=∫−∞+∞e−2t2dt⋅∫−∞+∞e−2u2du(定积分的值与积分变量无关，与被积函数和积分上下限有关)=∫−∞+∞∫−∞+∞e−2t2+u2dtdu=∫02π∫0+∞ρe−2ρ2dρdθ(利用极坐标求解定积分值)=∫02π−e−2ρ2∣0+∞dθ=∫02π1dθ=2π∵I=∫−∞+∞e−2t2dt>0∴I=2π
∴∫−∞+∞f(x)dx=12π∫−∞+∞e−t22dt=12π⋅2π=1\begin{aligned} \therefore \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\sqrt{2\pi}} = 1 \end{aligned}∴∫−∞+∞f(x)dx=2π1∫−∞+∞e−2t2dt=2π1⋅2π=1
分布函数
F(x)=12πσ∫−∞x−(t−μ)22σ2dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dtF(x)=2πσ1∫−∞x−2σ2(t−μ)2dt
性质
1o1^o\quad1o 正态分布曲线关于x=μx=\mux=μ 对称.
2o2^o\quad2o 当x=μx=\mux=μ 时取得最大值，f(μ)=12πσf(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}f(μ)=2πσ1
其他特性，可参考下图理解
- 曲线在x=μ±σx=\mu\pm\sigmax=μ±σ 处有拐点
- 曲线以0x0x0x轴为渐近线
- xxx离μ\muμ越远，f(x)f(x)f(x)的值就越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离μ\muμ越远，XXX落在这个区间的概率就越小
- 如果固定σ\sigmaσ,改变μ\muμ的值，则图形沿着0x0x0x轴平移，而不改变其形状。μ\muμ被称作位置参数(参考下图黄色和蓝色的线)
- 如果固定μ\muμ,改变σ\sigmaσ的值，由于其最大值 f(μ)=12πσf(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}f(μ)=2πσ1 随着σ\sigmaσ变小，而变得越尖，因而XXX落在μ\muμ附近的概率变大 (参考下图红色和黄色的线)
当 μ=0,σ=1\mu=0,\sigma=1μ=0,σ=1 时称随机变量XXX服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)和Φ(x)\Phi(x)Φ(x)表示，则有ϕ(x)=12πe−x22\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}ϕ(x)=2π1e−2x2,
Φ(x)=12π∫−∞x−t22dt\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{-\frac{t^2}{2}}dtΦ(x)=2π1∫−∞x−2t2dt , 由性质很容易推知:Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x)=1-\Phi(x)Φ(−x)=1−Φ(x)
引理，若X∼N(μ,σ)X\sim N(\mu,\sigma)X∼N(μ,σ),则Z=X−μσ∼N(0,1)Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)Z=σX−μ∼N(0,1).
证明如下：
Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma}Z=σX−μ的分布函数为
P{Z≤x}=P{X−μσ≤x}=P{X≤σx+μ}=∫−∞σx+μ12πσe−(t−μ)22σ2dt=F(x)∴f(x)=F′(x)=12πe−x22=ϕ(x)(变上限积分求导规则：上限带进去乘以上限对变量求导)∴命题得证\begin{aligned}P\{Z\leq x\}&=P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq x\}=P\{X\leq \sigma x+\mu\}\\&=\int_{-\infty}^{\sigma x+\mu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt = F(x) \\ \therefore &f(x) = F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} = \phi(x) \quad(变上限积分求导规则：上限带进去乘以上限对变量求导) \\\therefore 命题得证 \end{aligned}P{Z≤x}∴∴命题得证=P{σX−μ≤x}=P{X≤σx+μ}=∫−∞σx+μ2πσ1e−2σ2(t−μ)2dt=F(x)f(x)=F′(x)=2π1e−2x2=ϕ(x)(变上限积分求导规则：上限带进去乘以上限对变量求导)
第二种证明方法， 令t−μσ=u,\frac{t-\mu}{\sigma}=u,σt−μ=u, 则
P{Z≤x}=∫−∞σx+μ12πσe−(t−μ)22σ2dt=12π∫−∞ue−u22du=Φ(x)∴命题得证\begin{aligned}P\{Z\leq x\}&=\int_{-\infty}^{\sigma x+\mu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \\&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{u}e^{-\frac{u^2}{2}}du =\Phi(x) \\ \therefore 命题得证 \end{aligned}P{Z≤x}∴命题得证=∫−∞σx+μ2πσ1e−2σ2(t−μ)2dt=2π1∫−∞ue−2u2du=Φ(x)
由该引理可知F(x)=P{X≤x}=P{X−μσ≤x−μσ}=Φ(x−μσ)F(x)=P\{X\leq x\} = P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\} = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})F(x)=P{X≤x}=P{σX−μ≤σx−μ}=Φ(σx−μ)
P{x1≤X≤x2}=P{x1−μσ≤X−μσ≤x2−μσ}=Φ(x2−μσ)−Φ(x1−μσ)P\{x_1\leq X\leq x_2\}=P\{\frac{x_1-\mu}{\sigma} \leq \frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x_2-\mu}{\sigma}\} = \Phi(\frac{x_2-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{x_1-\mu}{\sigma})P{x1≤X≤x2}=P{σx1−μ≤σX−μ≤σx2−μ}=Φ(σx2−μ)−Φ(σx1−μ)
P{μ−σ≤X≤μ+σ}=Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1=68.26%.P\{\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\} = \Phi(1)-\Phi(-1) = 2\Phi(1)-1 = 68.26\%.P{μ−σ≤X≤μ+σ}=Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1=68.26%.
P{μ−2σ≤X≤μ+2σ}=Φ(2)−Φ(−2)=2Φ(2)−1=95.44%.P\{\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\} = \Phi(2)-\Phi(-2) = 2\Phi(2)-1 = 95.44\%.P{μ−2σ≤X≤μ+2σ}=Φ(2)−Φ(−2)=2Φ(2)−1=95.44%.
P{μ−3σ≤X≤μ+3σ}=Φ(3)−Φ(−3)=2Φ(3)−1=99.74%.P\{\mu-3\sigma\leq X\leq \mu+3\sigma\} = \Phi(3)-\Phi(-3) = 2\Phi(3)-1 = 99.74\%.P{μ−3σ≤X≤μ+3σ}=Φ(3)−Φ(−3)=2Φ(3)−1=99.74%.
我们看到，正态分布的值落在(μ−3σ,μ+3σ)(\mu-3\sigma, \mu+3\sigma)(μ−3σ,μ+3σ)内几乎时肯定的事情，这就是 3σ\pmb{3\sigma}3σ3σ3σ法则
设X∼N(0,1)X\sim N(0,1)X∼N(0,1)，若zaz_aza 满足条件 P{X>za}=a,0<a<1，P\{X>z_a\}=a, \quad 0<a<1，P{X>za}=a,0<a<1，则称点zaz_aza为标准正态分布的上 α\pmb{\alpha}ααα分位点
应用
在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或者近似服从正态分布。例如，一个地区的男性成年人身高，测量某零件长度的误差，海洋波浪的高度，半导体器件中的热噪声电流或电压等。 后续我们还会介绍正态分布的其他重要特性
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雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用 雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用 摘 要:为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化,本文首先利用雅克比行列式,应用变量变换定理给出了 ...
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