【口胡】Ynoi刷题记录

[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology III

分块后，预处理 F i , j F_{i,j} Fi,j表示第 i ∼ j i\sim j i∼j块的众数的出现次数。

用vector按顺序存每个数值所有元素的出现位置。

再记录每个元素在相应vector里的下标 p p p。

考虑询问，中间的直接使用预处理出的 F i , j F_{i,j} Fi,j的值即可。设当前的答案 a n s = F i , j ans=F_{i,j} ans=Fi,j。

考虑边界的元素。这里我们运用迭代的思想。对于右边的边角元素 x x x，如果它的出现次数比ans大，那么 p x − a n s p_x-ans px−ans 的元素 y y y 当然大于等于 l l l 。这个判断是O(1)的。

显然，由于边界的数最多 2 n 2\sqrt n 2n 个，所以最多使得答案增加 2 n 2\sqrt n 2n 。

每次询问对 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )个元素检查，++ans的次数为 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )次。所以查询的时间复杂度为 O ( m n ) O(m\sqrt n) O(mn )。

总时间复杂度 O ( ( n + m ) n ) O((n+m)\sqrt n) O((n+m)n )，空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)。

[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

树状数组+莫队的时间复杂度是 O ( n l o g n m ) O(nlogn\sqrt{m}) O(nlognm )

考虑优化，我们发现我们的某一次询问其实是可以差分的。

即每次右指针右移的时候，都有这样的一组询问： l − r l-r l−r中有多少数比 a r a_r ar大

然而这个东西可以差分： [ 1 , r ] [1,r] [1,r]中比 a r a_r ar大的数的数量减去 [ 1 , l − 1 ] [1,l-1] [1,l−1]中比 a r a_r ar大的数的数量。

对于前面那一坨可以用树状数组做。

后面那一坨询问离线下来处理即可。

这个时候我们一共存了 n m n\sqrt m nm 组移动（莫队复杂度，总移动次数）也就是要处理 n m n\sqrt m nm 组询问。

然而我们可以平衡它的复杂度，因为我们要处理 n m n\sqrt m nm 询问，却只需要插入 O ( n ) O(n) O(n)组数（即左端点扫过去的过程只移动 n n n 次）

可以使用一个插入 O ( n ) , O(\sqrt n), O(n ),查询 O ( 1 ) O(1) O(1)的数组结构 − > -> −>值域分块。

对于莫队中的四种移动分 4 4 4类讨论，最后需要从 1 − n 1-n 1−n用左端点扫一遍还需要再用右端点从 n − 1 n-1 n−1扫一遍。

这样复杂度就被平衡到了 O ( n m + n n ) O(n\sqrt m+n\sqrt n) O(nm +nn )辣。

但是这样做要把 n m n\sqrt m nm 移动存下来，空间吃不下。

我们发现其实莫队的移动有规律，当右端点移动的时候，其左端点并没有发生任何移动，我们可以用 ( l , s t , e d , 1 / − 1 ) (l,st,ed,1/-1) (l,st,ed,1/−1)来表示。

同理，当左端点移动的时候，右端点也没有发生任何移动。

这样空间复杂度就变成了 O ( M ) O(M) O(M)。

本题的[st,ed]如果是 l l l的变化区间，就只把端点 s t st st, e d ed ed存进vector数组，当i=st时把询问加入，i=ed+1时把询问删除即可。操作总数仍然只有 O ( n m ) O(n\sqrt{m}) O(nm )次。