题目

digit puzzle 数字谜 Uva12107
给一个不完整表达式，要求修改尽量少的数，使修改后的数字谜只有唯一解。空格和数字可以随意替换，但不能增删，表达式中所有涉及的数必须是没有前导零的正数。输入数字谜一定形如a*b=c，其中a、b、c分别最多有2、2、4位。用下划线表示未知数字。输入保证会有解，即有经过变换后肯定能有一个表达式有唯一解。如果有多个解，输出字典序最小的解, 下划线比数字小

 输入 _*__=78 //表达式 答案不唯一 1*78=78 2*39=78输出_*_7=_8 //表达式唯一解 4*17=68; 右原始表达式第3个下划线和7交换1次得到
tip:7*__=_8 //表达式也有唯一解 7*14=98; 但修改次数也是1 但字典序不是最小

思路

初始状态S
while True:每次交换一个不同的数字或下划线 形成新的表达式Sif 表达式S 有唯一解:停止搜索，结束

1、首先要有一个逻辑判断表达式解是否唯一
2、每次交换一个不同的数字或下划线形成新的表达式，校验是否唯一解，不唯一重复步骤2

问题

1、如何保证修改次数最小？
IDA*深度迭代搜索
2、如何保证修改次数相同时字典序最小？
在搜索时保证首先搜索字典序最小的状态，那么第一个搜索到的解就是答案
3、如何判断表达式解是否唯一？

初始状态S
all=0
def isOk(S):if S 中没有空格:if 校验表达式==成立:all++;else for 下划线 in 所有的下换线：替换下划线 = 0,1,2，...,9 获得新的状态S1。递归S1
#上述思路 可以优化，不过下面代码没有实现
# 1\ 替换a、b中的下换线。计算c=a*b, 匹配c与表达式中c
# 2\ 一旦all >=2后 就不需要查找了。肯定不是唯一解

4、如何存储表达式 (这是任何题目都避免不了的问题)
因为最多涉及8个数字或下划线，用4个bit存储一个数字, 正好用1个int型=32位；
因为下划线比数字小，所以空格用0=0000表示数字用原始数字＋1存储即[0001, 1010] 不存在用NAN=15=1111表示。如果数字是无符号的int型，那么数字越小对应的字典序也越小

案例验证

输入 _*__=78
输出 _*_7=_8

代码

/** 思路* 最多涉及8个数字 用4个bit存储一个数字, 正好32位＝1个int型； 空格用0=0000表示 数字用原始数字＋1存储即[0001, 1010] 不存在用NAN=15=1111表示，一定是数无符号整型* 初始状态s0* 转移方程 s = { sj | si中8个数字或空格, 除15外 任意两个不同的值交换得到sj }**/#define MAXDEPTH 10
#define NAN 15// 交换s[i]<-->s[j]
#define chg(s, i, j)\
do{\int __i, __j, __k;\for( __i=(i)*4, __j=(j)*4, __k=0; __k<4; __k++, __i++, __j++)\{\if ( (s&1<<__i)>>__i != (s&1<<__j)>>__j )\{\if ( s&1<<__i ) { s &= ~(1<<__i);  s |= (1<<__j); }\else     { s &= ~(1<<__j);  s |= (1<<__i); }\}\}\
}while(0)//获取s[i]的数字
#define slice(s, i) (s>>(i)*4&15)//更新s[i]的数字＝v
#define update(s, i, v) do{ s &= ~(15<<(i)*4); s |= (v)<<(i)*4; } while(0)int MaxDepth;
int depth;
int ans;static int okNum(int s, int index)
{int i, k, v, a, b, c, num;num = 0;// 所有空格替换完毕if (index==-1){// 解析a,b,ca=b=c=0;for(i=0; i<8; i++){// 跳过NANif(  slice(s,i) == NAN ) continue;if(i==0) {c += (slice(s,i)-1);}else if(i==1) {c += (slice(s,i)-1) * 10;}else if(i==2) {c += (slice(s,i)-1) * 100;}else if(i==3) {c += (slice(s,i)-1) * 1000;}else if(i==4) {b += (slice(s,i)-1);}else if(i==5) {b += (slice(s,i)-1) * 10;}else if(i==6) {a += (slice(s,i)-1);}else if(i==7) {a += (slice(s,i)-1) * 10;}}return a*b==c ? 1:0 ;}/** 遇到空格0 时填充数字1,2,...,10, 保证没有前导0* 递归到index-1*/if(  slice(s,index) == 0 ){for(v=0; v<10; v++){// 1、index=3 5 7时 不能为0.// 2、前一个index+1＝1(值为0)或NAN(不存在)时 不能为0if(v==0){if( index==3 || index==5 || index==7) continue;if( slice(s,index+1)==1 || slice(s,index+1)==NAN) continue;}update(s, index, v+1);num += okNum(s, index-1);}}else{num += okNum(s, index-1);}return num;
}/* 搜索第一个符合条件的答案 */
static int search(int s)
{int i,j, g, v, a, b, k;unsigned int tmp, sNew[28]; // 数量<=8时 任意交换两个最多7*8/2＝28种可能if (depth >= MaxDepth ) return 0;if( okNum(s, 7)==1 ){ans = s;return 1;}// 初始化sNew 在有序集合{s|交换s中任意两个不相同的数字或空格, si<sj }g=-1;for(i=0; i<8; i++) if( slice(s, i)!=NAN ){for(j=i+1; j<8; j++) if( slice(s, j)!=NAN ){if(slice(s, i)==slice(s, j)) continue;tmp = s;chg(tmp, i, j);k=g;while(k>=0 && sNew[k] > tmp) {sNew[k+1]=sNew[k];k--;}sNew[k+1]=tmp;g++;}}// 寻找需要交换的a, b 使得交换后 中最小k小// 按照交换后字典序 曾序递归for(i=0; i<=g; i++){depth++;if ( search(sNew[i]) ) return 1;depth--;}return 0;
}int main()
{int i,j,k,l, n, s0;char text[8+1];scanf("%s", text);//初始化答案ans=-1;// 初始化s0l=-1;while(text[++l]!='\0');s0=-1;k=0;for(i=0,j=l-1; j>=0; j--){if( text[j] == '=' ) i = 4;else if( text[j] == '*') i = 6;else{update(s0, i, (text[j]=='_'?0:(text[j]-'0')+1));i++;}}// printf("s0:");// ppp(&s0, 32);// IDA*搜索for(MaxDepth=1; MaxDepth<MAXDEPTH;  MaxDepth++)if( search(s0) ) break;// 打印答案// printf("ans:");// ppp(&s0, 32);if( ans==-1 ) printf("no solution\n");else{for(i=7; i>=0; i--){if(i==5) printf("*");if(i==3) printf("=");j = slice(ans, i);if(j==0) printf("_");else if(j!=NAN) printf("%d", j-1);}printf("\n");}return 0;
}

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