[数据结构]什么是树?什么是二叉树?
作者: 华丞臧.
专栏:【数据结构】
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文章目录
- 一、树
- 1.1 树的概念及结构
- 1.2 树的相关概念
- 1.3 树的表示
- 1.4 树在实际中的运用
- 二、二叉树的概念及结构
- 2.1 二叉树的概念
- 2.2 特殊的二叉树
- 2.3 二叉树的性质
- 2.4 二叉树的存储结构
- 顺序结构
- 链式存储
一、树
1.1 树的概念及结构
树是一种非线性的数据结构
,它是由n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合,把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶是朝下的。
- 有一个特殊的结点,称为根节点,根节点没有前驱结点
- 除根节点外,其余结点被分为M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每个集合Ti(1<=i<=m)又是一棵结构与树类似的子树,每棵子树的根节点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
- 因此,树是递归定义的。
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构。
1.2 树的相关概念
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;如上图:A的度为6。
叶节点或终端节点:度为
0
的节点称为叶节点;如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点。非终端节点或分支节点:度不为
0
的节点;如上图:DEFG等分支节点。双父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;如上图:树的度为6
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次;如上图:树的高度为4
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为堂兄弟节点
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林。
1.3 树的表示
树的结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来比较麻烦,既要保存值域又要保存结点和结点之间的关系。
实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};
1.4 树在实际中的运用
二、二叉树的概念及结构
2.1 二叉树的概念
一棵二叉树是节点的一个有限集合,该集合:
- 或者为空
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
- 二叉树不存在度大于
2
的节点- 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
对于任意二叉树都是由一下几种情况复合而成的:
现实中的二叉树:
2.2 特殊的二叉树
- 满二叉树:一个二叉树,如果每一层的节点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。假设一个二叉树的层数为
k
,且节点总数是2k - 1,则它是满二叉树。 - 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的,有n个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为
1
,则一棵非空二叉树的第i
层上最多有2(i-1) 节点。 - 若规定根节点的层数为
1
, 则深度为h
的二叉树的最大节点数是2h-1。 - 对于任何一棵二叉树,如果度为0的叶节点个数是n0,度为2的分支节点个数为n2,则有n0=n2+1。
- 若规定根节点的层数为
1
,具有n个节点的满二叉树深度,h=log2(n+1)。
5. 对于具有 n
个节点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0
开始编号,则对于序号为 i
的节点有:
1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
2. 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,2i+2>=n否则无右孩子
2.4 二叉树的存储结构
二叉树一般可使用两种存储结构:
- 顺序结构
- 链式结构
顺序结构
顺序结构存储就是使用数组来存储,一般只适用于表示完全二叉树,因为不完全二叉树会有空间的浪费,在实际使用当中只有堆才会使用数来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一棵二叉树。
链式存储
二叉树的链式存储结构是用链表来表示一棵二叉树,即用链表来表示元素的逻辑关系。通常方法是链表中的每个节点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该节点左右孩子所在的链表节点地址。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
};
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