LA3641 置换群

题目

给出一个26个大写字母的置换B，

求是否存在一个置换A， $A^2=B$ ，输出Yes/No

思路来源

指南P148

题解

一般考察置换群的性质时，对置换做循环分解

构造一个奇偶置换都存在的置换 $A=(a1\ a2 \ a3)(b1\ b2 \ b3 \ b4)$ ，

对其作 $A^2=(a1\ a2 \ a3)(b1\ b2 \ b3 \ b4)(a1\ a2 \ a3)(b1\ b2 \ b3 \ b4)$

注意到a、b互不影响，运用交换律分别考虑，有

$(a1\ a2 \ a3)(a1\ a2 \ a3)=(a1 \ a3 \ a2)$

$(b1\ b2 \ b3 \ b4)(b1\ b2 \ b3 \ b4)=(b1 \ b3)(b2 \ b4)$

对于给定的B内的长度为奇的置换，调整顺序即可构造出A

而对于长度为偶的置换，一定需要成对出现才可逆推出A

所以检查所有长度为2，4，…的置换的奇偶性即可

手推半小时，代码五分钟

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t,len[27];
bool vis[27];
char s[27];
int main(){scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%s",s);memset(vis,0,sizeof vis);memset(len,0,sizeof len);for(int i=0;i<26;++i){int v=s[i]-'A',cnt=0;for(;!vis[v];v=s[v]-'A'){vis[v]=1;cnt++;}len[cnt]++;}bool ok=1;for(int i=2;i<=26;i+=2){if(len[i]%2){ok=0;break;}}puts(ok?"Yes":"No");}return 0;
}

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