FFT变换的幅值和能量校正

对于从时域通过傅立叶变换计算频谱的大多数人来说，幅值和能量校正一直是个困惑点。首先要说的是，数据中包括的信息和幅值与能量修正的频谱是等效的。幅值和能量修正谱的唯一的区别在于计算的比例因子。

幅值修正谱

单独使用分析仪时，你会发现，幅值修正谱通常是默认的设置。每条谱线是时域信号每个频率分量的有效值。如果你有一个有效值为1V的正弦波（如图1所示），用FFT频谱分析仪进行测量，谱线的高度，或信号谱线的组合将始终加起来等于1V的有效值。

图1 有效值为1V的正弦波

如果在计算这个正弦信号的FFT之前，用户不对时域信号施加任何窗函数，并且信号的频率正好与离散的FFT的某条谱线重叠，那么，这个信号的谱线高度将是1伏的有效值。

图2 1V有效值对应的频谱

当用户在计算频谱之前，对时域信号施加一个窗函数（通常是汉宁窗）时，得到的结果会让人感到迷惑。因为施加的窗函数使得时域波形变窄，那么此时，得到的结果是单频的正弦信号却用3条谱线来描述。

图3 1V有效值加窗后的频谱

这1V有效值的正弦波并没有改变。记得，有效值等于功率谱的平方根，即RMS=sqrt(Power)，因此，这三条谱线的功率总和必须等于1V2（1V RMS）。显然，计算得到的三条谱线显示的中间谱线显示的有效值为1V，其他两条谱线的有效值为0.5 V，这是为什么？关键在于与每条谱线相关的功率。由每条谱线计算功率谱，必须将每条谱线的有效值进行平方后再求总和，即：

(0.5)2+(1)2+(0.5)2= 1.5 V2

但是，因为我们施加了汉宁窗，其等效噪声带宽（ENBW）是1.5，我们必须拿总和除以这个因子，然后再取平方根。此时，结果为是1V有效值，与预期一样。

请记住，在一般情况下，计算频率1(Lf)与频率2(Uf)之间的功率谱，是这个区间所有谱线功率的总和：

而

或者

如果频谱是按如上所述的方式计算，则需要进行幅值修正，此时总的功率谱（有效值的平方）实际上是每条谱线功率的总和除以测量时使用的等效噪声带宽得到的结果：

或者

等效噪声带宽（ENBW）是频率分辨率(Δf)与使用的窗函数的有效带宽的乘积（如汉宁窗=1.5）。等效噪声带宽作为所有频谱计算的一个指定元素位于一些厂家的信号处理软件中。

能量修正谱

幅值和能量谱校正仅仅是一个比例因子的差别。这个比例因子是分析使用的等效噪声带宽，如对汉宁窗，等效噪声带宽ENBW=1.5*Δf。

仍然采用前面1 V有效值的正弦信号，校正的能量谱的缩放比例看起来如下图所示：

图4 能量修正的频谱

再次对每条谱线的RMS值取平方相加，然后再求平方根

如看到的一样，幅值修正谱的比例因子已经成为能量修正的比例因子了，因此，当计算RMS时，不需要再除以因子。

现在来计算频率1(Lf)与频率2(Uf)之间的overall，需要计算每一条谱线的RMS平方和：

转换的比例因子关系

等同于计算RMS的公式为：

遇到的特殊情况是频率分辨率Δf = 1Hz ，ENBW= 1.5 Hz。这意味着幅值修正比例因子和能量修正比例因子的倍数关系是或0.816。

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