枯燥乏味之离散数学闲谈

说在前面

好久没有正经的弄过数学了，如果有错误请轻喷。

先从度娘那搜到本科阶段学习的离散数学（概论）大概会包含以下内容：

集合论/群论：整个数学界万物起源

函数：建立在集合论基础上，函数式入门

关系论：建立在集合论基础上，表示高维度对象，数据库入门

命题逻辑/布尔代数：逻辑推导与化简

组合数学：计算问题通解

数论：密码学入门，组合数学理器

图论：数学建模入门，数据结构入门，建模界万物起源

计算理论：理论计算科学万物起源，编译原理入门，函数式入门，算法复杂性分析

离散数学是计算机科学的基础，学好它就在掌握了日常要用的基本数学工具。因为计算机中的一切，究其根本都使用 0 和 1 来表示的，这就决定了它是一门基于离散数学的学科。

我发现面临的很多实际问题里面都有离散数学的影子。比如强人工智能涉及因果推理，需要逻辑学和布尔代数。计算机中的文件系统涉及树状结构，并行计算涉及图，都属于离散数学。

我可以很负责任的告诉你，如果你能在大一的时候就吃透离散数学这门课，你就等于学完了整个计算机科学、计算机专业（本科阶段）的一切。恭喜你，你可以毕业啦！！！

可能会有人有这样的疑问？我一个学计算机的，编程能力才是最重要的吧，数学学那么好干嘛。我又不干数学公式推导那些，那些是数学系的人干的。

虽然国外的科学家做过统计和证明，目前编程能力的强弱和数学确实关系不大（杠精勿扰）。个人觉得，编程能力主要考验的是宏观构建能力和微观的逻辑思维。

宏观构建能力是什么？例如一个很大的项目摆在你面前，往往是老鼠啃天的感觉，这是初级程序员的必然反映。但是资深的会跳出微观世界，从宏观分析整体的需求和特点，从而构建出合理的拓扑。

那么微观的逻辑思维呢？就是有个清晰的逻辑，这个操作应该怎么进行，遇到各种异常分别怎么处理。做好了结果也很明显，你写完的代码可能有语法错误，但是很少有逻辑错误。日常工作中语法错误是容易找到的，逻辑错误往往很难找很耗时。代码小白可能经常会遇到代码可以编译运行，但是结果就是不对。这很明显就是逻辑错误，即使知道是逻辑错误，可就是不知道错在哪，此刻是很绝望的。

所以逻辑思维的重要性不言而喻了吧。感觉我们现在的教育死记硬背我们很推崇，但是真正的逻辑思维培养都忽略了。我最讨厌的就是背书了，没有之一，这或许就是我文科很差的原因吧。

最后，鸡汤还是要端上来。离散数学必须好好学，要超过老师的课程（因为老师往往也不是高手）。多去网上看看搜索，自己也要多思考，培养好逻辑思维，即使你自己不做编程的工作，做其他领域也会很强。

所以，我又滚回来学了。

集合悖论

说到集合，很多人首先想到集合悖论。

小说《堂吉诃德》里描述了这样一件事，要进入某个城市就要过城门安检系统，该城法律规定，每个要进城的人都要求回答一个问题“你来做什么？”如果说的是真话就被放行，但如果发现说假话，就要被当场绞死，有个聪明人回答“我是来被绞死的。”如果这个人被绞死那他说的就是真话，就应被放行，可如果把他放行，他说的就是假话了，就应被绞死。

波特兰.罗素，英国超级哲学大师，除了哲学他对数学也极有研究，当年他构造了一个集合，这个集合是由一切不属于自身的集合所组成的，然后问这个集合属于他自身吗？把这个集合记作S，如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S，但如果S不属于S，同样根据定义，S就应该属于S，无论如何都是矛盾的，这个悖论让当时的大数学家们无比崩溃。

这个悖论在哲学里有很多种表达形式，比如理发师悖论，一个理发师说他只给那些不给自己理发的人理发，然后有人问他是否给自己理发，理发师陷入两难境地。

再比如一个人说他正在说谎，那么如果他真的在说谎，则他说自己说谎就是真话，可是如果他说的是真话，则他是在说谎。哲学就是如此神奇的学科，下图中匹诺曹的鼻子会变长吗？

哲学里至今无法解决这样的悖论问题，但数学里必须要解决它。就像爱因斯坦解决光速问题一样，只要设定光速永远不变，只要承认这种超越常识的认知即可避免各种悖论。同样的，因为罗素悖论的存在，则就可以提前规定不允许存在那样的集合S，就是禁止一切不属于自身的集合所组成的集合的存在。这种用各种限制条件构造集合的方法叫做公理化集合理论，就是建立一些列公理条件，以剔除掉可能存在的矛盾。可见数学是不完美的，数学也不是自由的。