【中级计量经济学】Lecture 6 异方差

文章目录

Lecture 6 异方差
- 6.1 异方差的实质
- 6.2 异方差类型
- 6.3 异方差产生原因
- 6.4 异方差的后果
- 6.5 异方差的检验
- - 图示检验法
  - White检验
  - B-P检验
  - Glejser检验
  - Gold-Qunandt检验
  - ARCH检验
- 6.6 异方差的补救措施
- - Ω\OmegaΩ已知时的广义最小二乘估计GLS：
  - Ω\OmegaΩ未知时的可行广义最小二乘估计FGLS：
  - 模型的对数变换

Lecture 6 异方差

主要讲横截面异方差，时间序列的异方差放在7.3 单变量波动率模型

6.1 异方差的实质

方差是度量被解释变量YYY的观测值围绕回归线的分散程度，同方差是指模型中的随机误差项uiu_iui，i=1,2,…,ni=1,2,\dots,ni=1,2,…,n
Var(u)=σ2I=σ2[101⋱01]Var(\pmb{u})=\sigma^2\pmb{I}=\sigma^2\left[\begin{aligned}1&&0\\&\ \ \ 1&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ddots&\\0&&1\end{aligned}\right] Var(uuu)=σ2III=σ2⎣⎢⎢⎢⎢⎡10 1 ⋱01⎦⎥⎥⎥⎥⎤
异方差是指模型中随机误差项的方差不是常量，而且它的变化与解释变量的变动有关。
Var(u)=[σ120σ22⋱0σn2]=σ2ΩVar(\pmb{u})=\left[\begin{aligned}\sigma_1^2&&0\\&\ \ \ \sigma_2^2&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ddots&\\0&&\sigma_n^2\end{aligned}\right] =\sigma^2\pmb{\Omega}\\ Var(uuu)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡σ120 σ22 ⋱0σn2⎦⎥⎥⎥⎥⎤=σ2ΩΩΩ

Ω=[ω10ω2⋱0ωn]\pmb{\Omega}=\left[\begin{aligned}\omega_1&&0\\&\ \ \ \omega_2&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ddots&\\0&&\omega_n\end{aligned}\right] ΩΩΩ=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ω10 ω2 ⋱0ωn⎦⎥⎥⎥⎥⎤

6.2 异方差类型

递增型：因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。多见于经济时间序列。
递减型
条件自回归型：多见于金融时间序列（见Lecture 7部分）。

截面数据和时间序列都可能存在异方差。通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生异方差。

6.3 异方差产生原因

模型中遗漏了重要的解释变量
模型的设定误差
数据的测量误差
截面数据中总体各单位的差异
异常值的出现

6.4 异方差的后果

参数估计的无偏性仍然成立
参数估计的最小方差性不再成立，OLS会低估方差
ttt统计量不服从ttt分布，ttt检验失效，且∣t∣|t|∣t∣常被OLS高估，预测精度降低

6.5 异方差的检验

图示检验法

解释与被解释变量散点图（YYY与XXX）、残差散点图（eie_iei与XiX_iXi）

White检验

大样本
不仅能判定是否存在异方差，还能判断出是哪一个变量引起的异方差

用解释变量的二次及以下项回归残差平方和，一般对双变量X1,X2X_1,X_2X1,X2模型，其回归对象是
ei2=δ0+δ1X1i+δ2X2i+δ3X1iX2i+δ4X12i+δ5X22i+εi,F=Re22/5(1−Re22)/(n−6)∼F(5,n−6);LM=nRe22∼χ2(5).e_i^2=\delta_{0}+\delta_1X_{1i}+\delta_2X_{2i}+\delta_3X_{1i}X_{2i}+\delta_4X_1^{2i}+\delta_5X_2^{2i}+\varepsilon_i,\\ F=\frac{R_{e^2}^2/5}{(1-R_{e^2}^2)/(n-6)}\sim F(5,n-6);\\ LM=nR_{e^2}^{2}\sim \chi^2(5). ei2=δ0+δ1X1i+δ2X2i+δ3X1iX2i+δ4X12i+δ5X22i+εi,F=(1−Re22)/(n−6)Re22/5∼F(5,n−6);LM=nRe22∼χ2(5).

p值小于临界值，表示拒绝原假设，说明存在异方差。

B-P检验

大样本
不仅能判定是否存在异方差，还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断

用变量的一次项回归残差平方和，即构造辅助回归
ei2=δ0+δ1Xi1+⋯+δkXik+εi.e_i^2=\delta_0+\delta_1 X_{i1}+\cdots+\delta_kX_{ik}+\varepsilon_i. ei2=δ0+δ1Xi1+⋯+δkXik+εi.
原假设是ei2e_i^2ei2与解释变量之间不存在函数关系，即不存在异方差，即H0:δ1=⋯=δk=0H_0:\delta_1=\cdots=\delta_k=0H0:δ1=⋯=δk=0，由受约束回归原理，检验统计量为
F=Re22/k(1−Re22)/(n−k−1)∼F(k,n−k−1).F=\frac{R^2_{e^2}/k}{(1-R_{e^2}^2)/(n-k-1)}\sim F(k,n-k-1). F=(1−Re22)/(n−k−1)Re22/k∼F(k,n−k−1).
若使用拉格朗日乘数检验，则LM=nRe22LM=nR_{e^2}^{2}LM=nRe22，在n→∞n\to \inftyn→∞时LM∼χ2(k)LM\sim \chi^2(k)LM∼χ2(k)。

统计量大于临界值，拒绝原假设，说明存在异方差。

Glejser检验

大样本
不仅能判定是否存在异方差，还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断

Gold-Qunandt检验

大样本
要求除了同方差的假定不成立外，其他假定均满足
只能判断是否存在异方差，而不能确定是哪一个解释变量引起的异方差

ARCH检验

大样本
数据是时间序列
只能判断是否存在异方差，而不能确定是哪一个解释变量引起的异方差

6.6 异方差的补救措施

Ω\OmegaΩ已知时的广义最小二乘估计GLS：

加权最小二乘估计WLS

Ω\OmegaΩ未知时的可行广义最小二乘估计FGLS：

首先估计总体方差，然后采取加权最小二乘法估计系数。

模型的对数变换