一、范数、条件数与谱半径

1. 范数

1.1 向量范数

向量范数的具体形式可以有很多种(满足上述三个条件的)，但常用的有以下三种

设向量x=(ξ1,ξ2,…,ξn)T∈Cn,设向量 x=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots, \xi_{n}\right)^{T} \in C^{n} ,设向量x=(ξ1,ξ2,…,ξn)T∈Cn,
(1)∥x∥1=∑i=1n∣ξi∣(1)\quad\|x\|_{1}=\sum_{i=1}^{n}| \xi_{i} |(1)∥x∥1=∑i=1n∣ξi∣ 1范数
(2)∥x∥2=(∑i=1n∣ξi∣2)12(2)\quad\|x\|_{2}=\left(\left.\sum_{i=1}^{n} |\xi_{i}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2)∥x∥2=(∑i=1n∣ξi∣2)21 2范数
(3)∥x∥∞=max⁡1≤i≤n∣ξi∣(3)\|\boldsymbol{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n}\left|\boldsymbol{\xi}_{i}\right|(3)∥x∥∞=max1≤i≤n∣ξi∣ ∞\infty∞范数
上述三种范数可统一地表示为 p 范数, 即 ∥x∥p=(∑i=1n∣xi∣p)1p\quad\|x\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|\boldsymbol{x}_{i}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}∥x∥p=(∑i=1n∣xi∣p)p1
其中p=1,2时很清楚,而∥x∣∞=lim⁡p→+∞∥x∥p其中p=1,2 时很清楚, 而 \left\|\left.x\right|_{\infty}=\lim _{p \rightarrow+\infty}\right\| x \|_{p}其中p=1,2时很清楚,而∥x∣∞=limp→+∞∥x∥p

1.2 矩阵范数

算子范数

–由向量范数诱导的矩阵范数

设∥⋅∥\quad\|·\|∥⋅∥ 是Cⁿ上的向量范数, 定义 C^nxn 上的函数为矩阵A的m范数

∥A∥m\quad\|A\|_{m}∥A∥m=max⁡∣x∣=1∥Ax∥,A∈Cn×n\max _{|x|=1}\| A x \|, A \in C^{n \times n}max∣x∣=1∥Ax∥,A∈Cn×n

其中由向量1,2，∞\infty∞范数诱导的矩阵范数∥A∥1，∥A∥2，∥A∥∞\quad\|A\|_{1}，\quad\|A\|_{2}，\quad\|A\|_{\infty}∥A∥1，∥A∥2，∥A∥∞

(1)∥A∥1=max⁡∣∥x∥1=1∥Ax∥1=max⁡1≤j≤n∑i=1n∣aij∣,(1) \|A\|_{1}=\max _{\mid\|x\|_{1}=1}\quad\|Ax\|_{1}=\max _{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right| ,(1)∥A∥1=max∣∥x∥1=1∥Ax∥1=max1≤j≤n∑i=1n∣aij∣, L1诱导范数，极大列和
(2)∥A∥∞=max⁡∣x∣∞=1∥Ax∥∞=max⁡1≤i≤n∑j=1n∣aij∣,(2) \|A\|_{\infty} =\max _{|x|_{\infty}=1}\quad\|Ax\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} \left|a_{i j}\right|,(2)∥A∥∞=max∣x∣∞=1∥Ax∥∞=max1≤i≤n∑j=1n∣aij∣,L无穷诱导范数，极大行和
(3)∥A∥2=max⁡∣x∣2=1∥Ax∥2=λmax⁡，λmax⁡是AHA(3) \|A\|_{2}=\max _{|x|_{2}=1}\quad\|Ax\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max }}， \lambda_{\max } 是 A^{H} A(3)∥A∥2=max∣x∣2=1∥Ax∥2=λmax，λmax是AHA 的最大特征值 L2诱导范数，谱半径

矩阵范数

(1)∥A∥m1=∑i=1n∑j=1n∣aij∣(1) \|A\|_{m_{1}}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|(1)∥A∥m1=∑i=1n∑j=1n∣aij∣ ， m1 范数
(2)∥A∥m∞=nmax⁡1≤i,j≤naij∣(2) \|\boldsymbol{A}\|_{m_{\infty}}=n \max _{1 \leq i, j \leq n} a_{i j} \mid \quad(2)∥A∥m∞=nmax1≤i,j≤naij∣， m无穷范数
(3)∥A∥F=∑i=1n∑j=1n∣aij∣2=tr⁡(AHA)=tr⁡(AAH)(3) \|A\|_{F}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}}=\sqrt{\operatorname{tr}\left(A^{H} A\right)}=\sqrt{\operatorname{tr}\left(A A^{H}\right)}(3)∥A∥F=∑i=1n∑j=1n∣aij∣2=tr(AHA)=tr(AAH)， F范数

例题

2. 谱半径ρ(A) 是矩阵A特征值模的最大值

谱半径小于1，矩阵序列{Ak}收敛；
谱半径是矩阵范数的下界，即 ||A||>= max(λi) = ρ(A)

3. 矩阵条件数

判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数：函数 cond1(A)、cond(2(A)以及cond∞(A)cond_{1}(A)、cond(_{2}(A)以及cond_{∞}(A)cond1(A)、cond(2(A)以及cond∞(A)
病态：对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好
cond(A) = ||A|| * ||A^-1||

定理：扰动误差，给矩阵A以扰动δA；其中x是Ax= b的唯一解，x̅是（A+δA)x = b的唯一解，有如下不等式`

例题

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