最小二乘法编程实现方法

1 基于MATLAB编程的最小二乘法

例如，已知某一热敏电容的温度T和电容C的实测数据如表所示：

热敏电容的温度T和电容C的实测数据

T/℃	50	60	70	80	90	100	109	119
C/pF	808	733	659	584	509	435	368	293

通过大体描绘这一组数据，图形基本上为一次曲线，因此，我下面用最小二乘法一次完成算法来完成曲线拟合。

设线性回归方程为：C=aT+b ，运行MATLAB程序，利用polyfit（x，y，n)函数即可求出参数a和b。

MATLAB源程序如下：

Clear all;
x=[50 60 70 80 90 100 109 119];      %测得的温度数据
y=[808 733 659 584 509 435 368 293];  %测得的电容数据
p=polyfit(x,y,1)                      %调用拟合函数
x1=45:0.05:125;                       %设置采样区间，采样点
y1=polyval(p,x1);                     %计算多项式在x1处的值
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')             %绘制图形

运行结果为p = 1.0e+003 *（-0.0075） 1.1809

MATLAB软件环境下的仿真结果表明，用最小二乘一次拟合算法可迅速得出被拟合的线性回归方程为C=1.0e+003 *（-0.0075）T+1.1809

从运算结果来看，测量点与拟合直线基本吻合，误差极小。因此，可以认为最小二乘法的建模方法是切实可行的。可以看出，传感器数学模型的建立关键在于拟合多项式中各系数和阶次的确定。基于最小二乘法的传感器建模方法不但可以同时辨识传感器数学模型的阶次和系数，而且具有较高的计算精度，通用性好，具有工程实际意义。

2 基于Excel图表法的最小二乘法

最小二乘法是以误差理论为依据，在诸数据处理方法中，误差最小，精确性最好。然而在实际应用中因其计算比较复杂，我们很少采用这一方法。随着计算机的普及，运用最小二乘法进行数据处理有了有力的工具，寻找简便易学、容易掌握的计算方法是解决运用最小二乘法进行数据处理的关键。Excel中有多种工具可用于最小二乘法的计算，其中的“函数”、“图表向导”、“数据分析”在处理数据时各有特点，用于最小二乘法计算时不需要编写程序，处理数据非常简便。

例如，温度变化时，测得某铜线的电阻，数据记录在下表中。

T/℃	25.0	30.0	35.0	40.0	45.0	50.0	55.0	60.0	65.0	70.0
R/Ω	1.579	1.611	1.639	1.670	1.698	1.727	1.758	1.787	1.814	1.846

2.1 运用Excel中的“函数”进行计算

Excel中的线性回归拟合方程的斜率函数SLOPE、截距函数INTERCEPT以及相关系数函数CORREL可用来确定线性方程y=ax+b的a、b两个系数和计算相关系数以判别线性回归是否合理。

打开Excel表格，将T、R的数据按列对应输入到Excel表格中

在相邻两个空白表格内（如C2和D2），分别输入说明和函数。如在C2中输入说明“a= ”；在D2中输入函数“=slope(B2:B11,A2:A11)”，其中A2:A11、B2:B11分别给出自变量、因变量的对应位置，回车即显示斜率a=0.005887273。同样可在C3、D3空白格内分别输入说明“b=”；函数“=intercept(B2:B11,A2:A11)”，回车后，显示截距b=1.433254545。同理，可以得到相关系数r=0.999925232

2.2 运用Excel中的“图表向导”进行计算

“图表向导”是Excel中绘制图表的工具,提供有十多种“图表类型”。其中的“XY散点图”可用来进行回归分析,在生成一张数据分析图时,并能方便地得到拟合线方程和相关系数的平方。

单击“插入”菜单中的“图表”,选中“XY 散点图”；在对话框“步骤之二”的“数据区域”中输入存放y轴数据的单元格区域B2：B11；在“系列”选项的“X 值( X)”中输入存放x轴数据的单元格区域A2:A11；在对话框“步骤之三”中确定图形的名称、坐标轴的标题以及网格线 ,在确定图表的插入位置后就完成实验数据分布图。选中所作的图表,在工具栏单击“图表”中的“添加趋势线”,在弹出的对话框选项中“类型”选择“线性”；“选项”选中“显示公式”和“显示R平方值” 的复选框,便可得到拟合线方程和相关系数的平方。如图所示 ,拟合曲线方程为y=0.0059x+1.4333及相关系数的平方 R^2=0.9999

结果分析：

从上面Excel的计算方法中可看出：利用“函数”运算方法简单,但需要记住函数名称 ,缺点是没有图表显示；“图表向导”方法根据对话框一步一步操作即可完成,数据和图表都能显示 , 缺点是运算步骤较多。最小二乘法还可以利用Excel中“数据分析”工具完成。

参考文献：

[1] 白云等. 基于最小二乘法的数据融合技术应用[J]. 技术与创新管理, 2008, 29(2):200-202.

[2 唐曙光. 基于Excel的实验数据最小二乘法计算探讨[J].大学物理实验，2003，16(4):43-45

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