数学分析傅里叶级数(第15章)

一.傅里叶级数
1.三角级数与正交函数系
(1)三角级数与三角函数系:

定理15.1:若级数∣a0∣2+∑n=1∞(∣an∣+∣bn∣)\frac{|a_0|}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|)2∣a0∣+n=1∑∞(∣an∣+∣bn∣)收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛

(2)三角函数系与正交函数系:

2.以2Π2Π2Π为周期的函数的傅里叶级数
(1)傅里叶系数:

定理15.2:若在整个数轴上f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)(9)f(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\,nx+b_nsin\,nx)\qquad(9)f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)(9)且等式右边一致收敛,则有如下关系式an=1Π∫−ΠΠf(x)cosnxdx(n=0,1,2...)bn=1Π∫−ΠΠf(x)sinnxdx(n=1,2...)(10)\begin{matrix}a_n=\frac{1}{Π}\int_{-Π}^Πf(x)cos\,nxdx\,(n=0,1,2...)\\b_n=\frac{1}{Π}\int_{-Π}^Πf(x)sin\,nxdx\,(n=1,2...)\:\:\:\,\end{matrix}\qquad(10)an=Π1∫−ΠΠf(x)cosnxdx(n=0,1,2...)bn=Π1∫−ΠΠf(x)sinnxdx(n=1,2...)(10)

(2)傅里叶级数:

3.收敛定理:

定理15.3(收敛定理):若以2Π2Π2Π为周期的函数fff在[−Π,Π][-Π,Π][−Π,Π]上按段光滑,则在∀x∈[−Π,Π]∀x∈[-Π,Π]∀x∈[−Π,Π]处,fff的傅里叶级数(12)收敛于fff在xxx处的左,右极限的算数平均值,即f(x+0)+f(x−0)2=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\,nx+b_nsin\,nx)2f(x+0)+f(x−0)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)其中an,bna_n,b_nan,bn为fff的傅里叶系数

按段光滑:

该定理指出:fff的傅里叶级数在点xxx处收敛于该点处fff的左,右极限的算术平均值f(x+0)+f(x−0)2\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}2f(x+0)+f(x−0);而当fff在点xxx处连续时,有f(x+0)+f(x−0)2=f(x)\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=f(x)2f(x+0)+f(x−0)=f(x),即此时fff的傅里叶级数收敛于f(x)f(x)f(x);故有如下推论
推论:若fff是以2Π2Π2Π为周期的连续函数,且在[−Π,Π][-Π,Π][−Π,Π]上按段光滑,则fff的傅里叶级数在(−∞,∞)(-∞,∞)(−∞,∞)上收敛于fff

注意:区间[−Π,Π][-Π,Π][−Π,Π]也可改为任何长度为2Π2Π2Π的区间:

关于傅里叶级数的周期延拓:

二.函数的傅里叶级数展开

1.以2l2l2l为周期的函数的傅里叶级数:

2.偶函数与奇函数的傅里叶级数:

三.收敛定理的证明
1.贝塞尔不等式(Bessel Inequality):

预备定理1:若函数fff在[−Π,Π][-Π,Π][−Π,Π]上可积,则a02+∑n=1∞(an2+bn2)≤1Π∫−ΠΠf2(x)dx(1)\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)≤\frac{1}{Π}\int_{-Π}^Πf^2(x)dx\qquad(1)2a0+n=1∑∞(an2+bn2)≤Π1∫−ΠΠf2(x)dx(1)其中an,bna_n,b_nan,bn为fff的傅里叶系数,(1)式称为贝塞尔不等式

推论1(黎曼-勒贝格定理):若fff为可积函数,则lim⁡n→∞∫−ΠΠf(x)cosnxdx=0lim⁡n→∞∫−ΠΠf(x)sinnxdx=0(5)\begin{matrix}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{-Π}^Πf(x)cos\,nxdx=0\\\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{-Π}^Πf(x)sin\,nxdx=0\end{matrix}\qquad(5)n→∞lim∫−ΠΠf(x)cosnxdx=0n→∞lim∫−ΠΠf(x)sinnxdx=0(5)

推论2:若fff为可积函数,则lim⁡n→∞∫0Πf(x)sin(n+12)xdx=0lim⁡n→∞∫−Π0f(x)sin(n+12)xdx=0(6)\begin{matrix}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^Πf(x)sin(n+\frac{1}{2})xdx=0\\\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{-Π}^0f(x)sin(n+\frac{1}{2})xdx=0\end{matrix}\qquad(6)n→∞lim∫0Πf(x)sin(n+21)xdx=0n→∞lim∫−Π0f(x)sin(n+21)xdx=0(6)

2.傅里叶级数部分和的积分表达式:

预备定理2:若f(x)f(x)f(x)是以2Π2Π2Π为周期的函数,且在[−Π,Π][-Π,Π][−Π,Π]上可积,则其傅里叶级数部分和Sn(x)S_n(x)Sn(x)可写成:Sn(x)=1Π∫−ΠΠf(x+t)sin(n+12)t2sint2dt(8)S_n(x)=\frac{1}{Π}\int_{-Π}^Πf(x+t)\frac{sin(n+\frac{1}{2})t}{2sin\frac{t}{2}}dt\qquad(8)Sn(x)=Π1∫−ΠΠf(x+t)2sin2tsin(n+21)tdt(8)当t=0t=0t=0时,被积函数中的不定式由极限lim⁡t→0sin(n+12)t2sint2=n+12\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{sin(n+\frac{1}{2})t}{2sin\frac{t}{2}}=n+\frac{1}{2}t→0lim2sin2tsin(n+21)t=n+21来确定

3.收敛定理的证明:

重述定理15.3(收敛定理):定理15.3(收敛定理):若以2Π2Π2Π为周期的函数fff在[−Π,Π][-Π,Π][−Π,Π]上按段光滑,则在∀x∈[−Π,Π]∀x∈[-Π,Π]∀x∈[−Π,Π]处,fff的傅里叶级数(12)收敛于fff在xxx处的左,右极限的算数平均值,即f(x+0)+f(x−0)2=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\,nx+b_nsin\,nx)2f(x+0)+f(x−0)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)其中an,bna_n,b_nan,bn为fff的傅里叶系数

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