AI线上培训课结业复习阶段(一) 高等数学基础

1.函数

1.函数的三要素

函数的定义：B=f(A)

A：定义域 B：值域 f：映射法则

2.常用初等函数：

常函数：y=C(C为任意常数)

一次函数：y=ax+b

二次函数：y=ax2+bx+c

幂函数：y=xa(a为指数)

指数函数：y=ax(a为底数,x为指数)(a>0且a!=1)

对数函数：y=loga x 或 y=lna x(a>0且a!=1)，表示以a为底，a的多少次方为x

直角三角函数：

y=sin x 正弦函数(对边比斜边)

y=cos x 余弦函数(邻边比斜边)

y=tan x 正切函数(对边比邻边)

2.函数的基本特性

(1).有界性(描述函数的区间范围)

设函数f(x)在区间I内有定义，如果存在一个正数M，使得|f(x)|<=M，则称函数f(x)在I区间内有界。

(2).单调性(描述因变量y（或f(x)）随自变量x变化而变化的情况)

设函数f(x)在区间I内有定义，对于区间I内任意两点x1，x2而言：

当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称因变量y随自变量x的增大而增大，函数是单调递增(增函数)，区间I为单调增区间

当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则成因变量y随自变量x的增大而减小，函数是单调递减(减函数)，区间I为单调减区间

(3).奇偶性(描述函数的对称性)

设函数f(x)在某区间I内有定义，I为关于原点对称的区间，若对于在I区间内存在的任意自变量x而言：

当f(-x)=f(x)时，则f(x)是偶函数，偶函数关于y轴对称。eg:y=x2

当f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数，奇函数关于原点对称。eg:y=x3

(4).周期性

设函数f(x)在某区间I内有定义，若存在不为零的数T，对于在区间I内中的任意一点x而言，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期(T为最小正周期)。

3.反函数

(1).反函数的定义：若函数f:D -> f(D)存在逆映射f-1:f(D)->D，则称映射f-1是f的反函数。反函数的值域就是原函数的定义域。

eg:设y=f(x) 和x=f(y)互为反函数，则原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

(2).反函数的性质：

①函数f(x)与其反函数f-1(x)关于直线y=x对称

②若函数f(x)是定义在D上的单调函数，则与其反函数f-1(x)存在，且f-1(x)也是单调函数，

原函数f(x)和反函数f-1(x)的单调性相同。

4.复合函数

(1).复合函数的定义：设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)在D上有定义，且

g(x)在D1定义域中存在(即复合函数的值域u必须包含在原函数的定义域D1中)，则

函数y=f[g(x)]成立。

y=f[g(x)]称为由函数y=f(u)和函数u=g(x)构成的复合函数，复合函数的定义域为D，变量u称为中间变量。函数f和函数g构成的

复合函数通常记为f°g，即(f°g)(x)=f[g(x)]。

eg:

给定函数E=mv2/2和函数v=gt，则复合函数

Y=mv2/2=m(gt)2/2=mg2t2/2

5.基本初等函数

(1).幂函数 y=xa(a是常数)

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值，它在(0,+8)内总有定义(因为任意常数的偶次方均为大于等于0的常数)。

幂函数图形都经过(1,1)点，因为1的a次方恒等于1

(2).指数函数 y=ax(a>0且a!=1)

定义域为(-8,+8)，值域为(0,+8)，指数函数图形都过(0,1)点(因为任意自然数的0次方恒等于1)。

单调性：当a>1时函数单调递增，当0<a<1时函数单调递减

(3).对数函数 y=loga x(a>0且a!=1)

对数函数和指数函数互为反函数，由反函数的性质可知：原函数和反函数的定义域、值域相反，单调性相同。

定义域(0,+8)，值域(-8,+8)图形都过(1,0)点

单调性：当a>1时函数单调递增，当0<a<1时函数单调递减

注意：在ML和DL中，所有的对数函数log 或 ln 均表示以1为底数。

(4).三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)：根据角度求三角函数值

y=sin x 正弦函数与y=cos x 余弦函数的定义域均为(-8,+8)，最小正周期均为2Π。

y=sin x 正弦函数是奇函数，y=cos x余弦函数是偶函数，正弦余弦函数均为有界函数。

y=tan x 正切函数定义域：(2n+1)Π/2，奇函数，最小正周期是Π

其他三角函数（余切、正割、余割）后面ML和DL基本用不到

(5).反三角函数：根据三角函数值求角度