固定波束形成:LS波束形成

LS波束形成的目的是使输出的方向响应逼近设置的方向响应。
如想设计一个波束形成器使得入射角度位于 θ 1 \theta_{1} θ1 和 θ 2 \theta_{2} θ2之间的信号能够通过，而使来自其他方向的信号衰减，则期望的方向响应可以表示为：
S d ( θ ) = { 1 , θ 1 ⩽ θ ⩽ θ 2 0 , 其他 S_{\mathrm{d}}(\theta)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \theta_{1} \leqslant \theta\leqslant \theta_{2} \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. Sd(θ)={1,0,θ1⩽θ⩽θ2 其他
假设 W = [ w 1 , w 2 ⋯ w N ] T \boldsymbol{W}=\left[w_{1}, w_{2} \cdots w_{N}\right]^{\mathrm{T}} W=[w1,w2⋯wN]T是一个长度为N的滤波器，N为阵列的个数。 θ \theta θ方向的导向矢量 a ( θ ) = [ 1 , e − j 2 π d sin ⁡ ( θ ) λ , … , e − j 2 π ( N − 1 ) d sin ⁡ ( θ ) λ ] N × 1 a(\theta)=\left[1, e^{-j 2 \pi \frac{d \sin (\theta)}{\lambda}}, \ldots, e^{-j 2 \pi \frac{(N-1) d \sin (\theta)}{\lambda}}\right]_{N \times 1} a(θ)=[1,e−j2πλdsin(θ),…,e−j2πλ(N−1)dsin(θ)]N×1
则输出方向相应为：
S ( θ ) = ∑ n = 1 N w n e − j 2 π ( n − 1 ) d sin ⁡ ( θ ) λ = W T a ( θ ) S(\theta)=\sum_{n=1}^{N} w_{n} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi(n-1)\frac{ d\sin(\theta)}{\lambda} }=\boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} a(\theta) S(θ)=n=1∑Nwne−j2π(n−1)λdsin(θ)=WTa(θ)
然后定义LS的逼近准则为：
ε 2 = ∫ 0 π ∣ S ( θ ) − S d ( θ ) ∣ 2 d θ \varepsilon^{2}=\int_{0}^{\pi} \left|S(\theta)-S_{\mathrm{d}}(\theta)\right|^{2} \mathrm{~d} \theta ε2=∫0π∣S(θ)−Sd(θ)∣2 dθ
将上面公达式带入有：
ε 2 = W T R W − 2 W T P + ∫ 0 π ∣ S d ( θ ) ∣ 2 d θ \varepsilon^{2}=\boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{R} \boldsymbol{W}-2 \boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}+\int_{0}^{\pi} \left|S_{\mathrm{d}}(\theta)\right|^{2} \mathrm{~d} \theta ε2=WTRW−2WTP+∫0π∣Sd(θ)∣2 dθ
其中：
R = ∫ 0 π a ⃗ ( θ ) a ⃗ H ( θ ) d θ P = ∫ 0 π Re ⁡ [ a ( θ ) S d ( θ ) ] d θ \begin{aligned} \boldsymbol{R} &=\int_{0}^{\pi} \vec{a}(\theta) \vec{a}^{\mathrm{H}}(\theta) \mathrm{d} \theta \\ \boldsymbol{P} &=\int_{0}^{\pi} \operatorname{Re}\left[a(\theta) S_{\mathrm{d}}(\theta)\right] \mathrm{d} \theta \end{aligned} RP=∫0πa (θ)a H(θ)dθ=∫0πRe[a(θ)Sd(θ)]dθ
则得最优解： W L S = R − 1 P W_{\mathrm{LS}}=R^{-1} P WLS=R−1P
LS波束形成设计好后，就与信噪比无关了，因此是固定波束形成得一种。

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