数学分析_场论——方向导数与梯度
场论——方向导数与梯度
- 方向导数(标量)：多元函数在某点沿某一方向的变化率，方向定了，大小就定了
- 梯度(矢量)：指示方向导数最大时方向导数方向的矢量，比如某个点P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0,y0)的梯度就指示了P点沿哪个方向会取得最大方向导数
注：方向导数在某点方向定了，大小也就定了，但是在这个点上有无数个方向，而取最大值时的方向是由这个点的梯度方向决定的，可以看出方向导数侧重于大小，而梯度侧重于方向
结论：
1.梯度向量 grad z=(zx′,zy′)z = (z'_x,z'_y)z=(zx′,zy′)或者 zx′i⃗+zy′j⃗z'_x\vec{i}+z'_y\vec{j}zx′i+zy′j
2.方向导数∂z∂l=\dfrac{\partial z}{\partial l} =∂l∂z= grad z⋅z·z⋅(cosα,cosβ)(cos\alpha,cos\beta)(cosα,cosβ),梯度与lll方向余弦的内积就是方向导数，如果两者恰好正向平行就取得最大值
例
z=2+ax2+by2z = 2 + ax^2 +by^2z=2+ax2+by2是一个二元函数，它的全微分为dz=2axdx+2bydydz = 2axdx+2bydydz=2axdx+2bydy
z对x的偏导就是∂z∂x=2ax\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2ax∂x∂z=2ax,反映的是z沿着x轴的变化趋势，这个方向为（1,0）
z对y的偏导就是∂z∂y=2by\dfrac{\partial z}{\partial y} = 2by∂y∂z=2by,反映的是z沿着y轴的变化趋势，这个方向为（0,1）
那如果沿着一个其他方向的变化，应该怎么表示呢？取一个方向为l(cosα,cosβ)l(cosα,cosβ)l(cosα,cosβ)
由全微分得∂z∂l\dfrac{\partial z}{\partial l}∂l∂z =2ax∂x∂l+2by∂y∂l=2axcosα+2bycosβ= \dfrac{2ax\partial x}{\partial l}+\dfrac{2by\partial y}{\partial l} =2axcosα+2bycosβ=∂l2ax∂x+∂l2by∂y=2axcosα+2bycosβ这样我们就计算出了沿lll的方向导数
如果我们对上式进一步变形 = (2ax,2by)⋅(cosα,cosβ)(2ax,2by)\cdot (cosα,cosβ)(2ax,2by)⋅(cosα,cosβ)。两个矢量作内积是一个标量，这个标量最大值为∣(2ax,2by)∣⋅∣(cosα,cosβ)∣=∣(2ax,2by)∣|(2ax,2by)|\cdot |(cosα,cosβ)| = |(2ax,2by)|∣(2ax,2by)∣⋅∣(cosα,cosβ)∣=∣(2ax,2by)∣当且仅当两个矢量正向平行时取得。
并且我们发现方向导数的最大值，恰好就是梯度向量的范数(模)
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