实变函数论学习笔记（二）集合的势

产生:集合的记数

定义：设AB是两个任意的集合，如果存在A到B的对应关系f，使得对任意的a∈A，存在唯一的b∈B，则称A的势不大于B的势。如果也有B的势不大于A的势，称A与B有相同的势，简称为对等。

如果A与B的子集 $B_{b}$ 对等，但不与B对等，称A的势小于B的势。

引出问题：

1.无穷集有哪些势？它们是否都可以相互比较？

2.是否任意两个集合都可以比较？（答案未知）

3.是否有最大的势？

答：没有。假设某一个集合E，他的子集与他本身构成一个更大的集合（子集数为 $2^{n}$ .）

比较：在无法计数的情况下，左右两堆人人数进行比较，A中一个B中一个，最后哪边有剩余哪边的人数就多。

Bernstein定理：(证明：化整为零思想，待补充)

假设AB是两个集合，如果A与B的某个子集对等，B又与A的某个子集对等，则A的势等于B的势。

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