math_二重积分/多元函数奇偶性
文章目录
- 计算步骤
- 草图
- 积分区域对称性
- 被积函数奇偶性/对称性
- 轮换对称
- 坐标系
- 积分次序
- 积分限
- 多元函数奇偶性
- 定义域
- 函数形式
- 一元函数
- 二元函数
- 例
- 二元一次绝对值方程对应的草图
计算步骤
为了方便讨论,二重积分表达式:
∬Df(x,y)dx\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x D∬f(x,y)dx
被积分的二元函数记为g=f(x,y)g=f(x,y)g=f(x,y)
草图
- 绘制积分区域D的草图,尝试从多元函数奇偶性的角度化简计算
- 讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件
积分区域对称性
- 判断积分区域是否具有对称性
- 如果积分区域不队称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用
- 但是,有时可以通过划分区域,得到关于多个坐标轴分别对称的两个子区域
- 这时候就可以再次尝试对称性(考虑被积分函数的奇偶性)
- 特比是被积函数本身具有自然定义域内的奇偶性,
- 那么很可能可以通过分割给定积分区域的来简化求解
- 相应的,对于重积分,我们只关心积分区间(区域)内是否具有对称性,而不一定要求自然定义域也具有对称性
- 对于与二重积分,记:将可以充当积分区域对称轴的那一条轴记为k=0对于与二重积分,记:将可以充当积分区域对称轴的那一条轴记为k=0对于与二重积分,记:将可以充当积分区域对称轴的那一条轴记为k=0
- k轴∈{x轴,y轴}k轴\in\set{x轴,y轴}k轴∈{x轴,y轴}
- 另外:如果有多条可以作为对称轴,那么分别记为k1=0,k2=0,ki∈{x,y}另外:如果有多条可以作为对称轴,那么分别记为k_1=0,k_2=0,k_i\in\set{x,y}另外:如果有多条可以作为对称轴,那么分别记为k1=0,k2=0,ki∈{x,y}
- 如果积分区域不队称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用
被积函数奇偶性/对称性
奇偶性:判断被积函数是否关于变量kkk对称(包括奇函数对称和偶函数对称)
如果符合奇函数对称,那么
- ∬Df(x,y)dσ=0\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0 D∬f(x,y)dσ=0
如果符合偶函数对称,那么
∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma= 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬f(x,y)dσ=2D1∬f(x,y)dσ
- 此处k表示对称轴变量(x,或者y)此处k表示对称轴变量(x,或者y)此处k表示对称轴变量(x,或者y)
- D1表示D在k轴正半轴那一侧的部分(D的一半)D_1表示D在k轴正半轴那一侧的部分(D的一半)D1表示D在k轴正半轴那一侧的部分(D的一半)
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