青蛙跳台阶的相关问题

问题一：青蛙一次只能跳 1 个台阶或者 2 个台阶, 计算从 0 台阶跳到 n 台阶有多少跳法，也就是的路径种类总和。

import java.util.HashMap;public class StepJump {// 当青蛙只能跳 1 个台阶或者 2 个台阶, 计算从 0 台阶跳到 n 台阶的路径种类总和// 这个类似斐波那契数列 1 1 2 3 5 8 13// f(0)=1, f(1)=1, f(2)=f(0)+f(1),[其中f(0)表示从0阶直接跳到2阶] f(3)=f(1)+f(2)// f(3)=f(1)+f(2)的解释：[先跳到1阶的路径种类(然后直接跳到3阶)+先跳到2阶的路径种类(然后直接跳到3阶)]private static int fun1(int n) {if(n < 2)return 1;// [先跳到n-1阶的路径种类(然后直接跳到n阶)+先跳到n-2阶的路径种类(然后直接跳到n阶)]return fun1(n-1)+fun1(n-2); // 递归}// 避免重复计算，可用一个 HashMap 存储计算过的值，防止重复计算。private static int fun2(int n, HashMap<Integer, Integer> map) {if(n < 2)return 1;// 如果map包含 n 对应的值，直接返回if(map.containsKey(n))return map.get(n);// 递归求值,和fun1()同样道理int first = fun2(n-1, map);int second = fun2(n-2, map);int sum = first + second;// 储存值，方便下次寻找map.put(n, sum);return sum;}// 利用循环计算，效率更高private static int fun3(int n) {if(n < 2)return 1;int first = 1, second = 1, sum = 0;while(n-- >= 2) {sum = first + second;first = second;second = sum;}return sum;}public static void main(String[] args) {int  n = 40;long time = System.nanoTime();System.out.println(fun1(n));System.out.println("递归时间：" + (System.nanoTime() - time));time = System.nanoTime();System.out.println(fun2(n, new HashMap<Integer, Integer>()));System.out.println("HashMap时间：" + (System.nanoTime() - time));time = System.nanoTime();System.out.println(fun3(n));System.out.println("循环时间：" + (System.nanoTime() - time));}
}
/* Code Running Results:(每次结果可能不同)* 165580141* 递归时间：347549100* 165580141* HashMap时间：114000* 165580141* 循环时间：21000*/

问题二：青蛙一次能跳 1 到 n 个台阶, 计算从 0 台阶跳到 n 台阶有多少跳法，也就是的路径种类总和。

public class StepJumpTwo {// 青蛙一次能跳 1 到 n 个台阶, 计算从 0 台阶跳到 n 台阶的路径种类总和// f(n)  = f(n-1)+f(n-2)+......+f(1)+f(0)------a式子// f(n-1)= f(n-2)+f(n-3)+......+f(1)+f(0)------b式子// (a式子)-(b式子)得  f(n)-f(n-1)=f(n-1)// 最终得到 f(n)=2*f(n-1)的等比数列，该等比数列为2^(n-1)private static int fun(int n){if(n < 2)return 1;return 1<<(n-1);  // 位运算，速度更快}public static void main(String [] args){System.out.println(fun(10));}
}
/* Code Running Results:* 512*/

问题三：青蛙一次能跳 1 到 m 个台阶, 计算从 0 台阶跳到 n 台阶有多少跳法，也就是的路径种类总和。

public class StepJumpThree {// 青蛙一次能跳 1 到 m 个台阶, 计算从 0 台阶跳到 n 台阶的路径种类总和// 情况1 n <= m 时，也就回到了问题二 f(n)=2*f(n-1), 等比数列为2^(n-1)// 情况2 当 n-1 = m 时// f(n)  = f(n-1)+f(n-2)+......+f(2)+f(1) 接下所有的计算又回到情况1//       = 2*f(n-2)+2*f(n-3)+......+2*f(1)+f(1)//       = ......//       = 2^(n-1)-1 (f(n)=2*f(n-1)的等比数列[2^(n-1)]的前 n-1 项和[2^(n-1)-1]// 情况3 当 n-1 > m 时// f(n)  = f(n-1)+f(n-2)+......+f(n-m+1)+f(n-m)------a式子// f(n-1)= f(n-2)+f(n-3)+......+f(n-m)+f(n-1-m)------b式子// (a式子)-(b式子)得  f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-1-m)// 最终得到 f(n)=2*f(n-1)-f(n-1-m)private static int fun(int n, int m){if(n < 2)return 1;if(n <= m)     // 情况1return 1<<(n-1);if(n-1 == m)   // 情况2return (1<<(n-1))-1;// 情况3return 2*fun(n-1, m)+fun(n-1-m, m);}public static void main(String [] args){System.out.println(fun(1, 5));  // n < 2System.out.println(fun(4, 5));  // 情况1System.out.println(fun(6, 5));  // 情况2System.out.println(fun(7, 5));  // 情况3}
}
/* Code Running Results:* 1* 8* 31* 63*/

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