【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第5章-矩阵微积分及其应用

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矩阵微积分及其应用

5.1 向量序列和矩阵序列的极限
- 5.1.1 向量序列的极限
- 5.1.2 矩阵序列的极限
5.2 矩阵级数与矩阵函数
- 5.2.1 矩阵级数
- 5.2.2 矩阵函数
5.3 函数矩阵的微分和积分
- 5.3.1 函数矩阵对实变量的导数
- - 定义 5.3.2 函数矩阵的导数定义
- 5.3.2 函数矩阵特殊的导数
- - 1. 数量函数对于向量的导数
  - 定义 5.3.3 数量函数 f(x) 对 x 的导数
  - 例 5.3.4
  - 例 5.3.5
  - 定义 5.3.4 数量函数 f(x) 对 A 的导数
  - 例 5.3.6
  - 2. 矩阵对于矩阵的导数
- 5.3.3 矩阵的全微分
- 5.3.4 函数矩阵的积分
5.4 矩阵微分方程
- 5.4.1 常系数齐次线性微分方程组的解
- - 定理 5.4.1
  - 定理 5.4.2
- 5.4.2 常系数非齐次线性微分方程组的解
- 5.4.3 n 阶常系数微分方程的解

5.1 向量序列和矩阵序列的极限

5.1.1 向量序列的极限

5.1.2 矩阵序列的极限

5.2 矩阵级数与矩阵函数

5.2.1 矩阵级数

5.2.2 矩阵函数

5.3 函数矩阵的微分和积分

5.3.1 函数矩阵对实变量的导数

定义 5.3.2 函数矩阵的导数定义

设 A(t)=(aij(t))m×nA(t) = (a_{ij}(t))_{m\times n}A(t)=(aij(t))m×n，若 aij(t)(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)a_{ij}(t)(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)aij(t)(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n) 在 t=t0t=t_0t=t0 处（或[a, b]上）可导，则称 A(t)A(t)A(t) 在 t=t0t=t_0t=t0 处（或[a, b]上）可导，记为
A′(t0)=dA(t)dt∣t=t0=lim⁡Δt→0A(t0+Δt)−A(t0)Δt=[a11′(t0)a12′(t0)…a1n′(t0)a21′(t0)a22′(t0)…a2n′(t0)⋮⋮⋱⋮am1′(t0)am2′(t0)…amn′(t0)]\begin{aligned} A'(t_0) &= \frac{dA(t)}{dt}|_{t=t_0} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{A(t_0+\Delta t) - A(t_0)}{\Delta t} \\ &= \left[\begin{matrix} a'_{11}(t_0) & a'_{12}(t_0) & \dots & a'_{1n}(t_0)\\ a'_{21}(t_0) & a'_{22}(t_0) & \dots & a'_{2n}(t_0)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a'_{m1}(t_0) & a'_{m2}(t_0) & \dots & a'_{mn}(t_0)\\ \end{matrix}\right] \end{aligned}A′(t0)=dtdA(t)∣t=t0=Δt→0limΔtA(t0+Δt)−A(t0)=⎣⎢⎢⎢⎡a11′(t0)a21′(t0)⋮am1′(t0)a12′(t0)a22′(t0)⋮am2′(t0)……⋱…a1n′(t0)a2n′(t0)⋮amn′(t0)⎦⎥⎥⎥⎤

不难证明函数矩阵的导数运算有下列性质：
（1）A(t)A(t)A(t) 为常数矩阵的充要条件是 A′(t)=0A'(t) = \mathbf{0}A′(t)=0；
（2）设 A(t)=(aij(t))m×nA(t) = (a_{ij}(t))_{m\times n}A(t)=(aij(t))m×n 和 B(t)=(bij(t))m×nB(t) = (b_{ij}(t))_{m\times n}B(t)=(bij(t))m×n 可导，则dd(t)(A(t)±B(t))=A′(t)±B′(t)(5.3.1)\frac{d}{d(t)}(A(t) \pm B(t)) = A'(t) \pm B'(t) \tag{5.3.1}d(t)d(A(t)±B(t))=A′(t)±B′(t)(5.3.1)

（3）若 k(t)k(t)k(t) 是可导的实函数，A(t)A(t)A(t) 可导，则
dd(t)(k(t)A(t))=k′(t)A(t)+k(t)A′(t)(5.3.2)\frac{d}{d(t)}(k(t)A(t)) = k'(t)A(t) + k(t)A'(t) \tag{5.3.2}d(t)d(k(t)A(t))=k′(t)A(t)+k(t)A′(t)(5.3.2)

（4）设 A(t)A(t)A(t) 和 B(t)B(t)B(t) 都可导，则
dd(t)(A(t)B(t))=A′(t)B(t)+A(t)B′(t)(5.3.3)\frac{d}{d(t)}(A(t)B(t)) = A'(t)B(t) + A(t)B'(t) \tag{5.3.3}d(t)d(A(t)B(t))=A′(t)B(t)+A(t)B′(t)(5.3.3)

（5）若 A(t)A(t)A(t) 与 A−1(t)A^{-1}(t)A−1(t) 都有导数，则
dA−1(t)dt=−A−1(t)A′(t)A−1(t)(5.3.4)\frac{dA^{-1}(t)}{dt} = -A^{-1}(t)A'(t)A^{-1}(t) \tag{5.3.4}dtdA−1(t)=−A−1(t)A′(t)A−1(t)(5.3.4)

（6）设函数矩阵 A(t)A(t)A(t) 是 ttt 的函数，而 t=f(x)t=f(x)t=f(x) 是 xxx 的实值函数，且 A(t)A(t)A(t) 与 f(x)f(x)f(x) 均可导，则有
dA(t)dx=dA(t)dtf′(x)=f′(x)dA(t)dt(5.3.5)\frac{dA(t)}{dx} = \frac{dA(t)}{dt}f'(x) = f'(x)\frac{dA(t)}{dt} \tag{5.3.5}dxdA(t)=dtdA(t)f′(x)=f′(x)dtdA(t)(5.3.5)

补充性质：不论 AAA 是任何常量方阵，总有
（1）ddteAt=AeAt=eAtA(5.3.6)\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}=e^{At}A \tag{5.3.6}dtdeAt=AeAt=eAtA(5.3.6)

此条性质可联想 (ex)′=ex(e^x)' = e^x(ex)′=ex 记忆

（2）ddtcos⁡At=−A(sin⁡At)=−(sin⁡At)A(5.3.7)\frac{d}{dt}\cos At = -A(\sin At) = -(\sin At)A \tag{5.3.7}dtdcosAt=−A(sinAt)=−(sinAt)A(5.3.7)

此条性质可联想 (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x(cosx)′=−sinx 记忆

（3）ddtsin⁡At=A(cos⁡At)=(cos⁡At)A(5.3.8)\frac{d}{dt}\sin At = A(\cos At) = (\cos At)A \tag{5.3.8}dtdsinAt=A(cosAt)=(cosAt)A(5.3.8)

此条性质可联想 (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx 记忆

5.3.2 函数矩阵特殊的导数

1. 数量函数对于向量的导数

在场论中，我们对数量函数 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 定义梯度为
gradf=Δf=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\mathrm{grad}\ f = \Delta f = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})grad f=Δf=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)

这可以理解为数量函数 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 对向量 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 的导数。

定义 5.3.3 数量函数 f(x) 对 x 的导数

设 x=(x1,x2,⋯,xn)Tx=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^Tx=(x1,x2,⋯,xn)T，f(x)=f(x1,x2,⋯,xn)f(x) = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)f(x)=f(x1,x2,⋯,xn) 是以向量 xxx 为自变量的数量函数，即为 nnn 元函数，则规定数量函数 f(x)f(x)f(x) 对于向量 xxx 的导数为
dfdx=(∂f∂x1,∂f∂x2,⋯,∂f∂xn)T(5.3.10)\frac{df}{dx} = (\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n})^T \tag{5.3.10}dxdf=(∂x1∂f,∂x2∂f,⋯,∂xn∂f)T(5.3.10)

例 5.3.4

数量函数 f(x)=xTAxf(x)=x^T A xf(x)=xTAx 对于向量 xxx 的导数为
dfdt=(A+AT)x=Ax+ATx(5.3.11)\frac{df}{dt} = (A+A^T)x = Ax + A^T x \tag{5.3.11}dtdf=(A+AT)x=Ax+ATx(5.3.11)
其中， A(t)=(aij)n×nA(t) = (a_{ij})_{n\times n}A(t)=(aij)n×n 为常量矩阵，x=(x1,x2,⋯,xn)x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)x=(x1,x2,⋯,xn)。

有特例如下：
（1）当 AAA 是实对称矩阵时，二次型 xTAxx^TAxxTAx 对 xxx 的导数为
dxTAxdx=2Ax(5.3.12)\frac{dx^TAx}{dx} = 2Ax \tag{5.3.12}dxdxTAx=2Ax(5.3.12)

（2）当 A=IA=IA=I 时，函数 f(x)=x12+x22+⋯+xn2f(x) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_n^2f(x)=x12+x22+⋯+xn2 对 xxx 的导数为
df(x)dx=2x(5.3.13)\frac{df(x)}{dx} = 2x \tag{5.3.13}dxdf(x)=2x(5.3.13)

例 5.3.5

令 x=(ξ1(t),ξ2(t),⋯,ξn(t))Tx=(\xi_1(t), \xi_2(t), \cdots, \xi_n(t))^Tx=(ξ1(t),ξ2(t),⋯,ξn(t))T，f(x)=(ξ1,⋯,ξn)f(x) = (\xi_1, \cdots, \xi_n)f(x)=(ξ1,⋯,ξn)。则有
dfdt=(dfdf)Tdxdt(5.3.14)\frac{df}{dt} = (\frac{df}{df})^T\frac{dx}{dt} \tag{5.3.14}dtdf=(dfdf)Tdtdx(5.3.14)

定义 5.3.4 数量函数 f(x) 对 A 的导数

设 A∈Rm×nA\in\mathbb{R}^{m\times n}A∈Rm×n，f(A)f(A)f(A) 为矩阵 AAA 的数量函数，即看成是 m×nm\times nm×n 元函数，则规定数量函数 f(A)f(A)f(A) 对于矩阵 AAA 的导数为
dfdA=(∂f∂aij)m×n=[∂f∂a11⋯∂f∂a1n⋮⋱⋮∂f∂an1⋯∂f∂ann](5.3.15)\frac{df}{dA} = (\frac{\partial f}{\partial a_{ij}})_{m\times n} = \left[\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial a_{11}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial a_{1n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial a_{n1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial a_{nn}} \\ \end{matrix}\right] \tag{5.3.15}dAdf=(∂aij∂f)m×n=⎣⎢⎡∂a11∂f⋮∂an1∂f⋯⋱⋯∂a1n∂f⋮∂ann∂f⎦⎥⎤(5.3.15)

例 5.3.6

二次型 xTAxx^T A xxTAx 对矩阵 AAA 的导数，其中 A∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}A∈Rn×n 是实对称的，那么有
ddA(xTAx)=(∂f∂aij∑i=1n∑j=1naijxixj)=(xixj)n×n=xxT\frac{d}{dA}(x^TAx) = (\frac{\partial f}{\partial a_{ij}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j) = (x_i x_j)_{n\times n} = xx^TdAd(xTAx)=(∂aij∂fi=1∑nj=1∑naijxixj)=(xixj)n×n=xxT

2. 矩阵对于矩阵的导数

5.3.3 矩阵的全微分

5.3.4 函数矩阵的积分

5.4 矩阵微分方程

5.4.1 常系数齐次线性微分方程组的解

定理 5.4.1

一阶线性常系数微分方程组的定解问题
{dxdt=Ax(t)x(0)=(x1(0),x2(0),⋯,xn(0))T(5.4.3)\left\{\begin{aligned} &\frac{dx}{dt} = Ax(t) \\ &x(0) = (x_1(0),x_2(0),\cdots,x_n(0))^T \end{aligned}\right.\tag{5.4.3}⎩⎨⎧dtdx=Ax(t)x(0)=(x1(0),x2(0),⋯,xn(0))T(5.4.3)

有唯一解 x=eAtx(0)x=e^{At}x(0)x=eAtx(0)

同理有
{dxdt=Ax(t)x∣t=t0=x(t0)(5.4.4)\left\{\begin{aligned} &\frac{dx}{dt} = Ax(t) \\ &x|_{t=t_0} = x(t_0) \end{aligned}\right.\tag{5.4.4}⎩⎨⎧dtdx=Ax(t)x∣t=t0=x(t0)(5.4.4)

有唯一解 x=eA(t−t0)x(t0)x=e^{A(t-t_0)}x(t_0)x=eA(t−t0)x(t0)

定理 5.4.2

{dXdt=AX(t)X(t)∣t=t0=X(t0)(5.4.5)\left\{\begin{aligned} &\frac{dX}{dt} = AX(t) \\ &X(t)|_{t=t_0} = X(t_0) \end{aligned}\right.\tag{5.4.5}⎩⎨⎧dtdX=AX(t)X(t)∣t=t0=X(t0)(5.4.5)

若未知函数 X(t)X(t)X(t) 不是列向量，而是 n×mn\times mn×m 矩阵，X(t0)X(t_0)X(t0) 是 n×mn\times mn×m 常数矩阵，AAA 是给定的 nnn 阶常数方阵，则有唯一解为
X(t)=eA(t−t0)X(t0)X(t) = e^{A(t-t_0)}X(t_0)X(t)=eA(t−t0)X(t0)

且解 X(t)X(t)X(t) 的秩与 ttt 的取值无关。

5.4.2 常系数非齐次线性微分方程组的解

{dxdt=Ax(t)+f(t)x∣t=t0=x(t0)(5.4.6)\left\{\begin{aligned} &\frac{dx}{dt} = Ax(t) + f(t) \\ &x|_{t=t_0} = x(t_0) \end{aligned}\right.\tag{5.4.6}⎩⎨⎧dtdx=Ax(t)+f(t)x∣t=t0=x(t0)(5.4.6)

有唯一解 x=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)f(τ)dτx=e^{A(t-t_0)}x(t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} f(\tau) d\taux=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)f(τ)dτ

5.4.3 n 阶常系数微分方程的解

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