应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

思路分析和图解

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示填入表第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ：装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

代码

package dynamic;public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = {1, 4, 3};  // 物品的重量int[] val = {1500, 3000, 2000};  // 物品的价值;这里的val[i] 就是v[i]int m = 4;  // 背包的容量int n = val.length; // 物品的个数// 创建二维数组// v[i][j] 表示前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值int[][] v = new int[n + 1][m + 1];// 为了记录放入商品的情况，定义一个二维数组int[][] path = new int[n + 1][m + 1];// 1. 初始化第一行第一列，这里在本程序中可以不处理（默认就是0）for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0;    // 将第一列设置为0}for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0;    // 将第一行设置为0}// 根据得到的公式来动态规划处理for (int i = 1; i < v.length; i++) {   // 不处理第一行 i是从1开始的for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { // 不处理第一列 j是从1开始的// 公式if (w[i - 1] > j) { // 因为程序i从1开始，因此原来公式中w[i] 修改为w [i-1]v[i][j] = v[i - 1][j];} else { // 因为i从1开始，因此公式需要调整为以下代码//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], (val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]));// 为了记录商品存放到背包的情况，不能简单地使用max公式，需要使用if-else-来体现公式if (v[i - 1][j] < (val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]])) {v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];// 记录最优情况path[i][j] = 1;} else {v[i][j] = v[i - 1][j];}}}}// 输出一下v看一下目前的情况printArrTwo(v);// 输出最后放入的哪些商品// 遍历path，会输出所有的放入情况，其实我们只需要最后一个/*for (int i = 0; i < path.length; i++) {for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {if(path[i][j]==1){System.out.printf("第%d个商品放背包\n",i);}}}*/int i = path.length - 1;int j = path[0].length - 1;while (i > 0 && j > 0) { //从pth数组最后开始找if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放背包\n", i);j -= w[i - 1];}i--;}}/*** 遍历二维数组** @param v 二维数组*/public static void printArrTwo(int[][] v) {for (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}}
}

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