一、有重根递推方程求解问题

有些递推方程的特征方程的特征根有重根的情况 , 特征方程解出来的特征根有一部分是相等的 , 这样就使得通解中的常数无法获取唯一的值 ;

参考 : 【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 ) 二、无重根下递推方程通解结构定理

在 “无重根下递推方程通解结构定理” 章节中 , 通解要求方程组中的系数行列式不等于 000 , ∏1≤i<j≤k(qi−qk)≠0\prod\limits_{1 \leq i < j \leq k} ( q_i - q_k ) \not= 01≤i<j≤k∏(qi−qk)=0 , 如果有两个特征根 qi,qkq_i , q_kqi,qk 相等 , 则上面的 "系数行列式不等于 000" 便无法实现 ;

如果特征方程有重根 , 就不能使用 “无重根下递推方程公式求法” 进行递推方程的求解 ;

针对有重根的递推方程 , 需要将其线性无关的元素都找到 , 线性组合在一起 , 才能得到通解 ;

线性组合 : 将一个解乘以 c1c_1c1 , 另一个解乘以 c2c_2c2 , 相加之后的组合 ;

二、有重根递推方程示例

递推方程 : H(n)−4H(n−1)+4H(n−2)=0H(n) - 4H(n-1) + 4H(n-2) = 0H(n)−4H(n−1)+4H(n−2)=0

初值 : H(0)=0,H(1)=1H(0) = 0 , H(1) = 1H(0)=0,H(1)=1

无重根下递推方程求解完整过程 :

1 . 写出特征方程 :

( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是 000 ;

( 2 ) 特征方程项数 : 确定特征方程项数 , 与递推方程项数相同 ;

( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是特征方程项数 −1-1−1 , 最低次幂 000 ;

( 4 ) 写出没有系数的特征方程 ;

( 5 ) 逐位将递推方程的系数抄写到特征方程中 ;

2 . 解特征根 : 将特征方程的特征根解出来 , x=−b±b2−4ac2ax = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac

3 . 构造递推方程的通解 : 构造 c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknc_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nc1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;

4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 kkk 个 kkk 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ;

递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数

根据上述求解过程进行求解 :

1 . 特征方程 :

( 1 ) 递推方程标准形式 : 递推方程已经是标准形式 ;

( 2 ) 特征方程项数 : 与递推方程项数相同 , 333 项 ;

( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是特征方程项数减一 , 3−1=23-1=23−1=2 , 最低次幂 000 ;

( 4 ) 写出没有系数的特征方程 : x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0

( 5 ) 逐位将递推方程的系数抄写到特征方程中 ;

1x2+(−4)x+(4)1=01x^2 + (-4)x + (4)1 = 01x2+(−4)x+(4)1=0

x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0x2−4x+4=0

2 . 解特征根 : 将特征方程的特征根解出来 , x=−b±b2−4ac2ax = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac

x=4±16−162=2x=\cfrac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = 2x=24±16−16=2

两个特征根都是 222 , q1=2,q2=2q_1=2, q_2 = 2q1=2,q2=2 ;

3 . 构造递推方程的通解 : 构造 c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknc_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nc1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;

通解是 : H(n)=c12n+c22n=c2nH(n) = c_12^n + c_22^n = c2^nH(n)=c12n+c22n=c2n

4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 kkk 个 kkk 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;

将 c2nc2^nc2n 代入到 x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0x2−4x+4=0 特征方程中 , ccc 是无解的 ;

如果两个特征根都是 222 , 线性相关 , 此时就无法确定通解中的 c1,c2c_1, c_2c1,c2 待定常数 ;

观察 n2nn2^nn2n 是解 , 该解与 2n2^n2n 线性无关 , 将上述两个解进行线性组合 ,

c1n2n+c22nc_1n2^n + c_22^nc1n2n+c22n 线性组合 , 是递推方程的解 ,

将初值代入 , 可以解出 c1,c2c_1, c_2c1,c2 常数的值 ;

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