1. 简介

二分查找(Binary Search)算法，也叫折半查找算法，二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想，每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0
二分查找的时间复杂度为： O ( l o g n ) O(logn) O(logn)
二分容易出错的细节：循环退出条件、区间上下界更新方法、返回值选择
二分查找的应用场景比较有限：底层必须依赖数组，并且要求数据有序；对于较小规模的数据查找，直接使用顺序遍历就可以了，二分查找的优势并不明显，二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作

2. 最简单的二分查找

在不存在重复元素的有序数组中，查找等于给定值的元素

/*** 在不存在重复元素的有序数组中，查找等于给定值的元素** @param nums* @param target* @return*/
int binarySearch(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1; // 在[left, right]的范围里寻找targetwhile (left <= right) { // 当left==right时,区间[left,right]依然有效int mid = (left + right) >>> 1;if (nums[mid] == target) {return mid;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1; // target在[mid+1,right]中} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1; // target在[left, mid-1]中}}return -1;
}

3. 4种常见的二分查找变形问题

3.1 查找第一个值等于给定值的元素

有序数据集合中存在重复的数据，希望找到第一个值等于给定值的数据
- 比如下面这样一个有序数组，其中， a[5]， a[6]， a[7]的值都等于8，是重复的数据。希望查找第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素

    /*** 查找第一个值等于给定值的元素* @param nums* @param target* @return*/int left_binarySearch(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = (left + right) >>> 1;if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else {if ((mid == 0) || (nums[mid-1] != target)) {return mid;} else {right = mid - 1;}}}return -1;}

当nums[mid] > target时，更新right=mid-1
当nums[mid] < target时，更新left=mid+1
当nums[mid]==target时，需要确认一下nums[mid]是不是第一个等于给定值的元素
- 若 mid = 0，这个元素已经是数组的第一个元素，肯定是要找的
- 若 mid != 0 且前一个元素nums[mid-1] != target，也说明nums[mid]就是要找的第一个值等于给定值的元素
- 若 mid != 0 且 nums[mid-1]==target，说明此时的nums[mid]不是第一个值等于给定值的元素，就更新right=mid-1，要找的元素肯定出现在 [ l e f t , m i d − 1 ] [left, mid-1] [left,mid−1]之间

3.2 查找最后一个值等于给定值的元素

有序数据集合中存在重复的数据，希望查找最后一个值等于给定值的元素

/*** 查找最后一个值等于给定值的元素* @param nums* @param target* @return*/
int right_binarySearch(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = (left + right) >>> 1;if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else {if ((mid == nums.length-1) || (nums[mid+1] != target)) {return mid;} else {left = mid+1;}}}return -1;
}

当nums[mid] > target时，更新right=mid-1
当nums[mid] < target时，更新left=mid+1
当nums[mid]==target时，需要确认一下nums[mid]是不是最后一个等于给定值的元素
- 如果nums[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的
- 如果nums[mid]的后一个元素nums[mid+1]不等于target，那也说明nums[mid]就是要找的最后一个值等于给定值的元素
- 如果经过检查之后，发现nums[mid]后面的一个元素nums[mid+1]也等于target，那说明当前的这个nums[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。就更新left=mid+1，因为要找的元素肯定出现在 [ m i d + 1 , h i g h ] [mid+1, high] [mid+1,high]之间

3.3 查找第一个大于等于给定值的元素

在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列： 3， 4， 6， 7， 10。如果查找第一个大于等于5的元素，那就是6

/*** 查找第一个大于等于给定值的元素* @param nums* @param target* @return*/
int greater_binarySearch(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = (left + right) >>> 1;if (nums[mid] >= target) {if ((mid == 0) || (nums[mid-1] < target)) {return mid;} else {right = mid - 1;}} else {left = mid + 1;}}return -1;
}

如果nums[mid] < target，那要查找的值肯定在 [ m i d + 1 , r i g h t ] [mid+1, right] [mid+1,right]之间，所以，更新left=mid+1。
如果nums[mid] >= target，要先看下这个nums[mid]是不是要找的第一个值大于等于给定值的元素
- 如果nums[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值target，那nums[mid]就是要找的
  元素
- 如果nums[mid-1] >= target，那说明要查找的元素在 [ l e f t , m i d − 1 ] [left, mid-1] [left,mid−1]之间，所以，更新right=mid-1

3.4 查找最后一个小于等于给定值的元素

在有序数组中，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据： 3， 5， 6， 8， 9， 10。最后一个小于等于7的元素就是6

/*** 查找最后一个小于等于给定值的元素* @param nums* @param target* @return*/
int le_binarySearch(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = (left + right) >>> 1;if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else {if ((mid == nums.length-1) || (nums[mid+1] > target)) {return mid;} else {left = mid + 1;}}}return -1;
}

Reference

数据结构与算法之美

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二分查找：思路很简单，细节是魔鬼

文章目录

1. 简介

2. 最简单的二分查找

3. 4种常见的二分查找变形问题

3.1 查找第一个值等于给定值的元素

3.2 查找最后一个值等于给定值的元素

3.3 查找第一个大于等于给定值的元素

3.4 查找最后一个小于等于给定值的元素

Reference

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