0816-欧拉回路（外带模板题一个+sao操作）

在讲题之前我把有关欧拉回路的知识点先整理出来，如下：

知识锦囊

欧拉路径： 在图 G 中包含每条边各一次的路径

欧拉回路：在图 G 中从起点出发包含每条边各一次且最终回到起点的路径（就是如果一个欧拉路径的起始点相同，那就是一个欧拉回路）

欧拉图： 含有欧拉回路的图

半欧拉图： 含有欧拉路径，没有欧拉回路的图

简单路径： 除起点和终点可以相同以外，所有简单路径上的点都只被经过一次（只出现一次）

简单回路： 起点和终点相同的简单路径

总的来说就是简单路径是每个点只访问一次，欧拉路径是每条边只访问一次

现在我们来看看如何判断一个图是否为欧拉图：

分为无向图和有向图来考虑

若为无向图，则需满足条件：

这个图必须连通（这显而易见）
每个顶点的度数为偶数（因为每个点“进”“出”的次数相同，所以必为偶数）

（若将条件2 改为只有两个点的度数为奇数，那就是判断一个半欧拉图了）

若为有向图，则需满足条件：

这个图的基图是连通的（所谓基图，就是有向图不考虑边的方向，当做无向图来看）
每个顶点的出度和入度相等

（若将条件2 改为只有两个点的出度和入度不一样，且起点 -->出度=入度+1，终点 -- > 出度=入度 - 1，那就是判半欧拉图）

那么判断倒是很容易，如果要输出欧拉回路的路径呢，这个怎么搞？

据说有两种方法可以达到目的，但我们只讲更优秀的那一个就够了，另外一个的话，嘿嘿，可以去这里看一下，讲的很好，下面的我也是摘自这个博客，真的写的好棒

基本(套圈)法

　　首先从一个节点(v0)出发，随便往下走(走过的边需要标记一下，下次就别走了)，当走到不能再走的时候，所停止的点必然也是起点(因为所有的点的度数都是偶数，能进去肯定还会出来，再者中间有可能再次经过起点，但是如果起点还能继续走，那么就要继续往下搜索，直到再次回来时不能往下搜索为止)，然后停止时，走过的路径形成了一个圈，但因为是随便走的，所以可能有些边还没走就回来了，那些剩下的边肯定也会形成一个或者多个环，然后可以从刚才终止的节点往前回溯，找到第一个可以向其他方向搜索的节点(vi)，然后再以这个点继续往下搜索，同理还会继续回到该点(vi)，于是这个环加上上次那个环就构成了一个更大的环，即可以想象成形成了一条从 v0 到 vi的路径，再由 vi 走了一个环回到 vi，然后到达v0 的一条更长的路径，如果当前的路径还不是最长的，那么继续按照上面的方法扩展。只需要在回溯时记录下每次回溯的边，最后形成的边的序列就是一条欧拉回路。如果要记录点的顺序的话，那么每访问一个点，就把这个点压入栈中，当某个点不能继续搜索时，即在标记不能走的边是，这个点成为了某种意义上的孤点，然后把这个点输出最后得到的就是一条欧拉回路路径的点的轨迹。

　　总之，求欧拉回路的方法是，使用深度优先搜索，如果某条边被搜索到，则标记这条边为已选择，并且即使回溯也不能将当前边的状态改回未选择，每次回溯时，记录回溯路径。深度优先搜索结束后，记录的路径就是欧拉回路。

下面用图描述一遍：

假设我们选择从v1开始走,由于随便走，所以可能出现以下走法

第一步：v1 -- v9

第二步：v9 -- v8

第三步：v8 -- v10

第四步：v10 -- v1

此时由于走过的边不能再走，那么从 v1 就无法继续向下探索,所以往前回溯,记录边集Eu{<v1, v10>}，此时回溯到 v10 ,发现可以继续走，那么

第五步: v10 -- v3

第六步: v3 -- v2

第七步: v2 -- v4

第八步: v4 – v10

发现已经无路可走，那么继续回溯，记录回溯路径得到Eu{<v1,v10>, <v10, v4>, <v4, v2>, <v2, v3>, <v3, v10>, <v10, v8>}，此时回溯到了 v8.发现可以向其他方向搜索, 那么

第九步：v8 -- v6

第十步：v6 --v7

第十一步：v7-- v8

又无路可走，继续回溯Eu{<v1,v10>, <v10, v4>, <v4, v2>, <v2, v3>, <v3, v10>, <v10, v8>, <v8, v7>, <v7, v6>,<v6,v8>,<v8,v9>,<v9,v1>}，到这里整个DFS就结束了，我们得到的边集Eu就是一条欧拉回路。

摘毕。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

这里小bi一句：其实很多算法只要你愿意花时间去模拟一遍，就能理解了

下面开始讲题：

传送门

这次我们先看一下代码，毕竟就只是一个裸的欧拉回路模板题，没什么好分析的，代码中会解释一些骚操作

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#define M 400009
#define N 100009
#define inr read()
using namespace std;
int type,n,m;
int nxt[M],head[N],to[M],cnt=1;
int in[N],out[N];
bool vis[M];
vector<int> ans;
void add(int x,int y){  nxt[++cnt]=head[x];head[x]=cnt;to[cnt]=y; }
inline int read(){char ch;int f=1,res=0;while((ch=getchar())<'0'||ch>'9')if(ch=='-') f=-1;while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<1)+(res<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return f==1?res:-res;
}
void dfs(int u){for(int &e=head[u];e;e=nxt[e]){//当前弧优化（学过网络流的就明白，没学过的。。自己查吧）int v=to[e],c=(type==1?(e/2):(e-1));//后面单独讲一下int sign=e&1;if(vis[c]) continue;vis[c]=1;dfs(v);if(type==1) ans.push_back(sign==1?-c:c);else ans.push_back(c);}
}
int main(){type=inr;n=inr;m=inr;int i,j,k;for(i=1;i<=m;++i){int u,v;u=inr;v=inr;add(u,v);out[u]++;in[v]++;//记录出度和入度if(type==1) add(v,u);}if(type==1){for(i=1;i<=n;++i)if((in[i]+out[i])&1){ // x&1，是判断 x 的奇偶，x&1==1，则说明x为奇数printf("NO");return 0;} }else{for(i=1;i<=n;++i)if(in[i]!=out[i]){//有向图：出度不等于入度printf("NO");return 0;}}for(i=1;i<=n;++i)if(head[i])//要排除孤立点，找到第一个不是孤立点的点{dfs(i);break;}if(ans.size()!=m) {printf("NO");return 0;}//如果刚刚找到的欧拉回路并没有包含所有的边，//那么说明刚刚找到的只是图中的一个子图，说明整个图除了孤立点以外仍旧不连通那么肯定不是欧拉图printf("YES\n");for(i=m-1;i>=0;--i)//倒着输出，如果明白了之前模拟的算法过程就知道为什么了printf("%d ",ans[i]);return 0;
}

来单独讲一下这一步：c=(type==1?(e/2):(e-1));
之所以可以这样处理是因为我们是从2开始存的边

那么如果是从1开始存边就应该这样写：c=(type==1?(e%2==0?e/2:(e+1)/2):e)

是不是好写的多？

这个 c 表示的就是这条边本来的编号，你想咯，无向边存了两遍，但实际上还是指的同一条边，可以举几个例子自己看看

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