数学之美：导数和极值的关系

预备知识　导数

图1：导数为零的三种点

　　如图 1 ，若一个一元函数 $y=f(x)$ 在某区间内处处可导（即对区间内的任何 $x$ 导数 $f'(x)$ 都存在），若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f'(x_i)=0$ （即在这些点处函数曲线的斜率为零），这样的点被称为驻点．

　　而从函数曲线来看，驻点又分为三类：极大值，极小值，鞍点．我们以 $x_i$ 为中心取一个小区间，如果这个区间足够小，那么容易看出对于极大值点， $f'(x)$ 在小区间内递减，对于鞍点， $f'(x)$ 在小区间内恒为非负或恒为非正，对于极小值点， $f'(x)$ 在小区间内递增．所以为了判断驻点的类型，我们可以在驻点处求函数的二阶导数 $f''(x_i)$ ．假设二阶偏导存在，如果 $f''(x_i)<0$ ，那么 $x_i$ 是极大值点，如果 $f''(x_i)=0$ ，则 $x_i$ 是鞍点，如果 $f''(x_i)>0$ ， $x_i$ 是极小值点．

　　另外，若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点，它就被称为最小值点，若某个极大值点是该区间中函数值最大的点，它就被称为最大值点．

例1
　　二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的导函数为 $f'(x)=2ax+b$ ，所以唯一的驻点为 $-b/(2a)$ ．函数的二阶导数是一个常数 $f''(x)=2a$ ，所以当 $a>0$ 时驻点是唯一的极小值点，即最小值点．同理，当 $a<0$ 时驻点是最大值点．

图2：例 2 函数图

例2
　　函数 $f(x)=x+a/x\:(a>0)$ 的一阶导函数为 $f'(x)=1-a/x^2$ ，若我们只考察区间 $(0,+\infty)$ ，唯一的驻点为 $x=\sqrt{a}$ ．函数的二阶导函数 $f''(x)=2a/x^3$ 在驻点处的值为 $2/\sqrt{a}>0$ ，所以该驻点为当前区间的最小值点（图 2 ）．

例3
　　函数 $f(x)=x^3$ 的一阶导函数为 $f'(x)=3x^2$ ，唯一的驻点为 $x=0$ ．函数的二阶导函数 $f''(x)=6x$ 在驻点处的值为 $0$ ，所以该驻点是一个鞍点．

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