关于求和号的若干问题

单重求和号∑\sum∑

首先是求和号的定义： ∑i=1nXi=X1+X2+⋯+Xn\sum_{i=1}^n X_i =X_1+X_2+\cdots+X_ni=1∑nXi=X1+X2+⋯+Xn

i是下标，求和号后面的XiX_iXi可理解为通项。 该式表示从X1X_1X1开始一直加到XnX_nXn。

举个例子能帮助你更准确地理解：
∑i=1n1=？\sum_{i=1}^n 1=？i=1∑n1=？
答案是n，而不是1.这是一个很容易犯的错误。
在这个例子中1相当于通项，该式的每一个xix_ixi都为1。画张表理解：

X	Value
x1x_1x1	1
x1x_1x1	1
⋯\cdots⋯	⋯\cdots⋯
xnx_nxn	1

即n个1相加求和。

双重求和号∑∑\sum\sum∑∑

[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2} &\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤
双重求和号的目的就是来表示上述矩阵所有元素的相加再求和，因此常用的有两种方式：
1）每一列的内部相加之后得到一个和，然后每一列的和再依次相加进而得到所有元素的和
2）每一行的内部相加之后得到一个和，然后每一行的和再依次相加进而得到所有元素的和
有了这两种方式，我们也就有了如下两种不同的表达式：
1）∑i=1m∑j=1naij\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}i=1∑mj=1∑naij
2）∑j=1n∑i=1maij\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^ma_{ij}j=1∑ni=1∑maij
显然这两种方式是等价的，形式上直观来看这两个求和号是可以互换的。但是问题是所有的都可以互换吗？看下面一个例子：
[a11a21a22⋮⋮⋱am1am2⋯amn]\begin{bmatrix} a_{11}&\\a_{21}&a_{22}\\ \vdots&\vdots&\ddots\\a_{m1}&a_{m2} &\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a22⋮am2⋱⋯amn⎦⎥⎥⎥⎤
同样按照之前讲的两种相加方式得到两种不同的表达式：
1）∑j=1n∑i=jmaij\sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^ma_{ij}j=1∑ni=j∑maij
2）∑i=1m∑j=1iaij\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^ia_{ij}i=1∑mj=1∑iaij
可以注意到上述两式并不是单纯互换得到的，甚至差异明显。
通过这两个例子思考什么时候可以互换什么时候又不可以互换呢？一个小结论：当两个下标没有关系时可以互换，存在关系时不可以互换。
还是用上面两个例子解释一下，第一个很简单，重点来说第二个。
以第一种方式为例：step1每一列的内部相加，这里i的下标从1开始一直到m（嘿嘿是这样吗），注意观察，i的下标取值范围和j有关（即存在关系），是从j—>m。step2将每一列得到的加和加起来，也就是j从1—>n。
在这里应当注意双重求和号是一个整体，两个求和号可以互换是要满足一定条件的。
那么当我们看到一个双重求和号时怎么快速写出到底是哪些项相加呢？很简单采用画点图法。
以∑j=14∑i=j4aij\sum_{j=1}^4\sum_{i=j}^4a_{ij}j=1∑4i=j∑4aij为例,引入下面一个图:

可以看到，红色空心点代表的元素相加即为求和式。

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