前言

同样的，跟前面一眼四元数的乘法也代表了旋转，四元数的积有多种定义，这里我们只讲被用在旋转操作的上积 —— 矢量积

矢量积

对于两个四元数q，p：
q = w 1 + x 1 i + y 1 j + z 1 k q = w_1 + x_1i+y_1j+z_1k q=w1+x1i+y1j+z1k
p = w 2 + x 2 i + y 2 j + z 2 k p = w_2 + x_2i+y_2j+z_2k p=w2+x2i+y2j+z2k
我们来看q右乘p，按照分配律
q p = ( w 1 ∗ w 2 − x 1 ∗ x 2 − y 1 ∗ y 2 − z 1 ∗ z 2 ) + qp = (w_1*w_2-x_1*x_2-y_1*y_2-z_1*z_2) + qp=(w1∗w2−x1∗x2−y1∗y2−z1∗z2)+
( x 1 ∗ w 2 + w 1 ∗ x 2 + z 1 ∗ y 2 − z 1 ∗ y 2 ) i + (x_1*w_2+w_1*x_2+z_1*y_2-z_1*y_2) i+ (x1∗w2+w1∗x2+z1∗y2−z1∗y2)i+ ( y 1 ∗ w 2 + w 1 ∗ y 2 + z 1 ∗ x 2 − x 1 ∗ z 2 ) j + (y_1*w_2+w_1*y_2+z_1*x_2-x_1*z_2) j+ (y1∗w2+w1∗y2+z1∗x2−x1∗z2)j+ ( z 1 ∗ w 2 + w 1 ∗ z 2 + x 1 ∗ y 2 − x 2 ∗ y 1 ) k + (z_1*w_2+w_1*z_2+x_1*y_2-x_2*y_1) k+ (z1∗w2+w1∗z2+x1∗y2−x2∗y1)k+
按照同样算法算pq结果是等于-qp的
也就是
p q = − q p pq = -qp pq=−qp

旋转

重新审视qp
（1）q右乘p，我们将q作为一个旋转操作，作用于某个值p上
qp即为：p被q按照右手法则变换
（2）p左乘q，我们将p作为一个旋转操作，作用于某个值q上
qp即为：q被p按照左手法则变换

如何旋转一个三维空间的点呢？
现在，假设我们这里有一个旋转操作q，和一个三维坐标v
我们将v看作w = 0处的一个四元数p
p = ( 0 , v ) p = (0,v) p=(0,v)
记 t = q p t = qp t=qp
经过一次旋转后 w t w_t wt 不为0了，这在三维空间看起来已经变形了
为什么呢，因为一次旋转涉及i，j，k三个轴的变化，他们是联动的，
当你从i轴向j轴转动时，k轴向ij向量积的方向转动

你可能会问一个轴怎么转动向他所指的方向转动？
事实上这个轴是投影在三维空间的一个半径为无穷大的圆...在这里有一个3Blue1Brown的交互性视频，如果你无法理解我的概念可以自己去试着操作一下超球（Hypersphere）
https://eater.net/quaternions/video/quatmult

看，这是旋转之前的投影

现在我们绕k轴旋转
q 1 = 0.8 + 0.0 i + 0.0 j + 0.6 k q_1 = 0.8 + 0.0i + 0.0j + 0.6k q1=0.8+0.0i+0.0j+0.6k
q 2 = 1 q_2 = 1 q2=1
即
q 1 p ∗ 1 q_1p*1 q1p∗1
q 1 q_1 q1模长1，确保四维超球不会变形
我们看

可以看到确实旋转了，我们来看看k轴的情况

球体变形了，他膨胀了！

为什么？我们明明限制了 q 1 q_1 q1的模长1
根据运算结果，w不为0时偏离了我们的三维空间，导致超球在三维的投影变形了

如何去修复他？
我们左乘一个 q 2 q_2 q2，使得其按左手法则，向相反的方向旋转k轴，将超球拉回w=0处
当然，为了不变形超球， q 2 q_2 q2模长 = 1，
我们做稍稍调整， q 2 = ( w , − q 1 . x , − q 1 . y , − q 1 . z ) q_2 = (w,-q_1.x,-q_1.y,-q_1.z) q2=(w,−q1.x,−q1.y,−q1.z)
并用 q 2 q_2 q2左乘p，这样便可以抵消w的偏移

你可以同时拿出你的右手和左手，让食指从i轴的方向旋至j轴的方向，一个对应q1，另一个对应q2
两根拇指的方向相反，但是食指的转动的方向相同

也就是说：为了调整偏离w = 0的操作我们旋过了两倍 q 1 q_1 q1的操作。
或者说，要旋转 ( α , β , γ ) (α,β,γ) (α,β,γ)欧拉角，我们应该使q1等于其一半
q 1 = e u l e r ( α 2 ， β 2 ， γ 2 ) q_1 = euler(\frac{α}{2}，\frac{β}{2}，\frac{γ}{2}) q1=euler(2α，2β，2γ)
之后 q 1 p q 2 q_1pq_2 q1pq2 即可

至此，四元数的三维空间旋转应用已经结束，下面给出C++代码

C++代码

quaternion.h


// 四元数
// Ayww
// 2018年12月30日15:10:11#ifndef _QUATERNION_
#define _QUATERNION_
#define _USE_MATH_DEFINES
#include <cmath>
#include <memory>
#include <tuple>class quaternion {public:
#ifdef QUATERNION_DOUBLEusing _Myvt = double;
#elseusing _Myvt = float;
#endifusing vec3 = std::tuple<_Myvt, _Myvt, _Myvt>;_Myvt w;_Myvt x;_Myvt y;_Myvt z;public:explicit quaternion(_Myvt a = 0, _Myvt b = 0, _Myvt c = 0, _Myvt d = 0) :w(a), x(b), y(c), z(d) {}~quaternion(){}quaternion::quaternion(const quaternion &r) : w(r.w), x(r.x), y(r.y), z(r.z) {}quaternion::quaternion(quaternion &&r) : w(r.w), x(r.x), y(r.y), z(r.z) {}quaternion& operator=(quaternion const&);quaternion& operator=(quaternion &&);quaternion operator*(quaternion const &r);quaternion operator+(quaternion const &r);// 求模的平方_Myvt norm_square(void);// 求模auto norm(void)->decltype(sqrt(w));// 共轭quaternion conjugate(void);// 逆quaternion inv(void);// 加quaternion& add(quaternion const& qr);// 右乘quaternion& multi(quaternion const& qr);// 到欧拉角vec3 to_euler(void);// 欧拉角转换到四元数quaternion& from_euler(_Myvt, _Myvt, _Myvt);// 到三维向量vec3 to_vector3(void);// 三维向量扩充到四元数quaternion& from_vector3(_Myvt, _Myvt, _Myvt);
};quaternion operator*(quaternion::_Myvt const& l,quaternion const &r);
quaternion operator*(quaternion const &l, quaternion::_Myvt const& r);#endif // !_QUATERNION_

quaternion.cpp

#include "quaternion.h"quaternion operator*(quaternion::_Myvt const& l, quaternion const &r) {return quaternion(l*r.w, l*r.x, l*r.y, l*r.z);
}
quaternion operator*(quaternion const &r, quaternion::_Myvt const& l) {return quaternion(l*r.w, l*r.x, l*r.y, l*r.z);
}quaternion& quaternion::operator=(quaternion const& r) {w = r.w;x = r.x;y = r.y;z = r.z;return *this;
}
quaternion& quaternion::operator=(quaternion && r) {w = r.w;x = r.x;y = r.y;z = r.z;r.w = 0;r.x = 0;r.y = 0;r.z = 0;return *this;
}quaternion::_Myvt quaternion::norm_square() {return w*w + x*x + y*y + z*z;
}quaternion::vec3 quaternion::to_vector3() {return vec3(x, y, z);
}quaternion& quaternion::from_vector3(_Myvt v1, _Myvt v2, _Myvt v3) {w = 0;x = v1;y = v2;z = v3;return *this;
}// Z - Y - X Euler angles
// https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/6894128.html
std::tuple<quaternion::_Myvt, quaternion::_Myvt, quaternion::_Myvt> quaternion::to_euler() {_Myvt a, b, c;const _Myvt _eps = 0.0009765625f;const _Myvt _thres = 0.5f - _eps;_Myvt _test = w*y - x*z;if (_test < -_thres || _test > _thres) {// 奇异姿态,俯仰角为±90°int s = _test < .0 ? -1 : 1;c = -2 * s * atan2(x, w); // yawb = s * (3.1415926535 / 2.0); // pitcha = 0; // roll}else {a = atan2(2 * (y*z + w*x), w*w - x*x - y*y + z*z);b = asin(-2 * (x*z - w*y));c = atan2(2 * (x*y + w*z), w*w + x*x - y*y - z*z);}return std::make_tuple(a, b, c);
}quaternion& quaternion::from_euler(_Myvt r, _Myvt p, _Myvt y) {this->w = cos(r)*cos(p)*cos(y) + sin(r)*sin(p)*sin(y);this->x = sin(r)*cos(p)*cos(y) - cos(r)*sin(p)*sin(y);this->y = cos(r)*sin(p)*cos(y) + sin(r)*cos(p)*sin(y);this->z = cos(r)*cos(p)*sin(y) - sin(r)*sin(p)*cos(y);return *this;
}quaternion quaternion::conjugate() {return quaternion(w, -x, -y, -z);
}quaternion quaternion::inv(void) {auto a = 1.0 / (x*x + y*y + z*z + w*w);return quaternion(a*w, a*-x, a*-y, a*-z);
}auto quaternion::norm(void)->decltype(sqrt(w)) {return sqrt(x*x + y*y + z*z + w*w);
}quaternion quaternion::operator*(quaternion const &qr) {quaternion q;q.w = w*qr.w - x*qr.x - y*qr.y - z*qr.z;q.x = w*qr.x + x*qr.w + y*qr.z - z*qr.y;q.y = w*qr.y - x*qr.z + y*qr.w + z*qr.x;q.z = w*qr.z + x*qr.y - y*qr.x + z*qr.w;return q;
}
quaternion quaternion::operator+(quaternion const &r) {return quaternion(w+r.w,x+r.x, y + r.y, z + r.z);
}quaternion& quaternion::add(quaternion const& qr) {x += qr.x;y += qr.y;z += qr.z;w += qr.w;return *this;
}quaternion& quaternion::multi(quaternion const& qr) {quaternion q;q.w = w*qr.w - x*qr.x - y*qr.y - z*qr.z;q.x = w*qr.x + x*qr.w + y*qr.z - z*qr.y;q.y = w*qr.y - x*qr.z + y*qr.w + z*qr.x;q.z = w*qr.z + x*qr.y - y*qr.x + z*qr.w;this->x = q.x;this->y = q.y;this->z = q.z;this->w = q.w;return *this;
}

测试代码

#include <iostream>
using namespace std;
#include "quaternion.h"int main(int argc, char**argv) {quaternion q,v,invq;const float pi = 3.1415926535f;v.from_vector3(1, 1, 0);       // 定义旋转点为 (1，1，0)const float deg_z = pi / 4.f;   // 定义本次旋转为：绕z轴逆时针转动 45°q.from_euler(0, 0, deg_z*0.5f);   // 将绕z轴转动22.5的欧拉角，转换为四元数invq = q.inv();                 // 求出q的逆v = q*v*invq;                  // 先用q来旋转v，此时 w 轴偏离了0 ，在三维空间的投影变形，我们再用q^-1使其转回w = 0的位置auto t = v.to_vector3();cout << "旋转后坐标，x = " << get<0>(t) << ", y = " << get<1>(t) << ", z = " << get<2>(t) << endl;return 0;
}

结果：
x = 0 , y = 2 ， z = 0 x = 0 , y =\sqrt{2}，z = 0 x=0,y=2 ，z=0

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