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两基金分离定理
有效证券组合
存在无风险资产的均值-方差模型
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无风险资产对最小方差组合的影响
- r<μr<\mur<μ
- r=μr=\mur=μ
- r>μr>\mur>μ
存在无风险资产的两基金分离定理
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预期收益率关系式

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资产组合理论(2)

两基金分离定理

定理：任一最小方差资产组合w∗w^*w∗都可以唯一表示成全局最小方差资产组合wgw_gwg和可分散资产组合wdw_dwd的资产组合
w∗=Awg+(1−A)wdw^*=Aw_g+(1-A)w_d w∗=Awg+(1−A)wd
其中
A=ac−μabΔA=\frac{ac-\mu ab}{\Delta} A=Δac−μab
且w∗w^*w∗的收益率方差满足关系式
σp2=(aμ−2bμ+c)/Δ\sigma_p^2=(a\mu-2b\mu+c)/\Delta σp2=(aμ−2bμ+c)/Δ
wgw_gwg和wdw_dwd通常称为共同基金，该定理也被称为两基金定理.
性质：设wu=(1−μ)wg+uwd,wv=(1−ν)wg+νwdw_u=(1-\mu)w_g+uw_d, w_v=(1-\nu)w_g+\nu w_dwu=(1−μ)wg+uwd,wv=(1−ν)wg+νwd表示任意两个最小方差资产组合，则其协方差为1/a+μμΔ/(ab2)1/a+\mu\mu\Delta/(ab^2)1/a+μμΔ/(ab2)，特别的，全局最小方差资产组合与任何资产或者资产组合协方差都为1/a1/a1/a.
证明：
令E(Ru)=wuTE(R),E(Rν)=wνTE(R)\mathbb{E}(R_u)=w_u^T\mathbb{E}(R), \mathbb{E}(R_\nu)=w_\nu^T\mathbb{E}(R)E(Ru)=wuTE(R),E(Rν)=wνTE(R)
计算cov(Ru,Rv)cov(R_u, R_v)cov(Ru,Rv)
cov(Ru,Rd)=(1−μ)(1−ν)σd2+μνσd2+[μ(1−ν)+ν(1−μ)]σgdcov(R_u, R_d)=(1-\mu)(1-\nu)\sigma_d^2+\mu\nu\sigma_d^2+[\mu(1-\nu)+\nu(1-\mu)]\sigma_{gd} cov(Ru,Rd)=(1−μ)(1−ν)σd2+μνσd2+[μ(1−ν)+ν(1−μ)]σgd
全局最小方差资产组合与任意资产或者资产组合的协方差为
cov(Rg,Rp)=wgTVwp=1TV−1Vwpa=1a=σp2cov(R_g, R_p)=w_g^T\mathbf{V}w_p=\frac{\mathbf{1}^T\mathbf{V}^{-1}\mathbf{V}w_p}{a}=\frac{1}{a}=\sigma_p^2 cov(Rg,Rp)=wgTVwp=a1TV−1Vwp=a1=σp2

有效证券组合

定义：如果一个资产组合对确定的方差有最大期望收益率，同时对确定收益率有最小方差，则称该资产组合为均值-方差有效资产组合.

存在无风险资产的均值-方差模型

设投资者在市场上可以获得n+1n+1n+1种资产，其中nnn种风险资产，1种无风险资产；无风险资产的投资权重可以为正，也可以为负，权重为正，表示储蓄，权重为负表示购买风险资产. 约束优化问题为
min⁡12σp2=12wTVws.t.(E(R)−r1)Tw=μ−r(1)\begin{aligned} &\min \frac{1}{2}\sigma_p^2=\frac{1}{2}\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w}\\ &s.t.\quad (E(\pmb{R})-r\mathbf{1})^T\pmb{w}= \mu-r \end{aligned}\tag{1} min21σp2=21wwwTVVVwwws.t.(E(RRR)−r1)Twww=μ−r(1)
使用Lagrange乘数法建立增广目标函数LLL为
L=12wTVw+λ[μ−r−(E(R)−r1)Tw]L=\frac{1}{2}\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w}+\lambda[\mu-r-(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})^T\pmb{w}] L=21wwwTVVVwww+λ[μ−r−(E(RRR)−r1)Twww]
可以求出一阶条件为
Lw=Vw−λ(E(R)−r1)=0L_w=\pmb{V}\pmb{w}-\lambda(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})=0 Lw=VVVwww−λ(E(RRR)−r1)=0
求解得到风险资产权重w∗\pmb{w}^*www∗为
w∗=λV−1(E(R)−r1)(2)\pmb{w}^*=\lambda\pmb{V}^{-1}(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})\tag{2} www∗=λVVV−1(E(RRR)−r1)(2)
无风险资产权重w0∗w_0^*w0∗为
w0∗=1−1Tw∗w_0^*=1-\mathbf{1}^T\pmb{w}^* w0∗=1−1Twww∗
进行如下变量代换
{μ=E(R)Twa=1TV−11b=1TV−1E(R)c=E(R)TV−1E(R)Δ=ac−b2(3)\left\{ \begin{aligned} &\mu=E(\pmb{R})^T\pmb{w}\\ &a=\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}\mathbf{1}\\ &b=\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}E(\pmb{R})\\ &c=E(\pmb{R})^T\pmb{V}^{-1}E(\pmb{R})\\ &\Delta=ac-b^2 \end{aligned}\tag{3} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧μ=E(RRR)Twwwa=1TVVV−11b=1TVVV−1E(RRR)c=E(RRR)TVVV−1E(RRR)Δ=ac−b2(3)
将(2),(3)(2), (3)(2),(3)带入(1)可以得到
μ−r=(E(R)−r1)Tw=λ(E(R)−r1)TV−1(E(R)−r1)=λ(c−2rb+r2a)\begin{aligned} \mu-r&=(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})^T\pmb{w}=\lambda(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})^T\pmb{V}^{-1}(E(\pmb{R})-r\mathbf{1}) \\ &=\lambda(c-2rb+r^2a) \end{aligned} μ−r=(E(RRR)−r1)Twww=λ(E(RRR)−r1)TVVV−1(E(RRR)−r1)=λ(c−2rb+r2a)
可以解出λ\lambdaλ值为
λ=μ−rc−2rb+r2a\lambda=\frac{\mu-r}{c-2rb+r^2a} λ=c−2rb+r2aμ−r
计算出w∗\pmb{w}^*www∗值为
w∗=μ−rc−2rb+r2aV−1(E(R)−r1)\pmb{w}^*=\frac{\mu-r}{c-2rb+r^2a}\pmb{V}^{-1}(E(\pmb{R})-r\mathbf{1}) www∗=c−2rb+r2aμ−rVVV−1(E(RRR)−r1)
最小方差组合的方差σp2\sigma_p^2σp2为
σp2=wTVw=wTλ(E(R)−r1)=λ(wTE(R)−rwT1)=λ(μ−r)=(μ−r)2c−2rb+r2a\begin{aligned} \sigma_p^2&=\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w} \\ &=\pmb{w}^T\lambda(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})\\ &=\lambda(\pmb{w}^TE(\pmb{R})-r\pmb{w}^T\mathbf{1}) \\ &=\lambda(\mu-r)\\ &=\frac{(\mu-r)^2}{c-2rb+r^2a} \end{aligned} σp2=wwwTVVVwww=wwwTλ(E(RRR)−r1)=λ(wwwTE(RRR)−rwwwT1)=λ(μ−r)=c−2rb+r2a(μ−r)2

案例

考虑一个资产组合，预期收益率矩阵为E(R)=[0.2,0.5]TE(\pmb{R})=[0.2, 0.5]^TE(RRR)=[0.2,0.5]T，协方差矩阵V=[1001]\pmb{V}=\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right]VVV=[1001]，无风险利率为0.10.10.1，预期收益率为0.20.20.2，求资产组合的最小方差.

解析

根据公式
σp2=wTVw=(μ−r)2(c−2rb+r2a)−1\sigma_p^2=\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w}=(\mu-r)^2(c-2rb+r^2a)^{-1} σp2=wwwTVVVwww=(μ−r)2(c−2rb+r2a)−1
预处理参数
{a=1TV−11b=1TV−1E(R)c=E(R)TV−1E(R)\left\{ \begin{aligned} &a=\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}\mathbf{1} \\ &b=\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}E(\pmb{R})\\ &c=E(\pmb{R})^T\pmb{V}^{-1}E(\pmb{R}) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a=1TVVV−11b=1TVVV−1E(RRR)c=E(RRR)TVVV−1E(RRR)

代码

import numpy as np
from numpy import dot
from numpy.linalg import inv
def portfolio_min_variance(E, R, V, rf, u):V=inv(V)a=dot(dot(E, V), E)b=dot(dot(E, V), R)c=dot(dot(R, V), R)return (u-rf)**2/(c-2*rf*b+rf**2*a)def main():E=np.ones(2)R=np.array([0.2, 0.5])V=np.eye(2)rf=0.1u=0.2print('the min variance of portfolio is {:.4f}'.format(portfolio_min_variance(E, R, V, rf, u)))main()

无风险资产对最小方差组合的影响

由σp\sigma_pσp的表达式
σp=±μ−rc−2rb+r2a\sigma_p=\pm\frac{\mu-r}{\sqrt{c-2rb+r^2a}} σp=±c−2rb+r2aμ−r
在几何上表现为通过公共交点(0,r)(0, r)(0,r)的两条射线，斜率分别是±c−2rb+r2a\pm \sqrt{c-2rb+r^2a}±c−2rb+r2a，在均值-均方差平面上分为三种情况r≤μ,r=μ,r>μr\leq \mu, r=\mu, r>\mur≤μ,r=μ,r>μ，其中μ=b/a\mu=b/aμ=b/a.

r<μr<\mur<μ

解出方程为
E(Rp)=r+σpc−2rb+r2aE(Rp)=r−σpc−2rb+r2aE(\pmb{R}_p)=r+\sigma_p\sqrt{c-2rb+r^2a}\\ E(\pmb{R}_p)=r-\sigma_p\sqrt{c-2rb+r^2a} E(RRRp)=r+σpc−2rb+r2aE(RRRp)=r−σpc−2rb+r2a

r=μr=\mur=μ

根据r=μ=bar=\mu=\frac{b}{a}r=μ=ab对方程进行简化
E(Rp)=ba+σpΔaE(Rp)=ba−σpΔaE(\pmb{R}_p)=\frac{b}{a}+\sigma_p\sqrt{\frac{\Delta}{a}} \\ E(\pmb{R}_p)=\frac{b}{a}-\sigma_p\sqrt{\frac{\Delta}{a}} E(RRRp)=ab+σpaΔE(RRRp)=ab−σpaΔ

可以发现当r=μr=\mur=μ时，含有无风险资产的最小方差组合在E(Rp−σp)E(\pmb{R}_p-\sigma_p)E(RRRp−σp)坐标平面上表现为双曲线的渐近线.

r>μr>\mur>μ

无风险收益率大于全局最小方差组合预期收益率在现实中不存在

存在无风险资产的两基金分离定理

由两基金定理可以知道，最小方差资产组合是两个不同资产组合而成，在存在无风险资产的情况下，一种自然的基金选择为无风险资产和不含任何无风险资产的切点资产组合.

定理：在存在无风险资产的情况下，任一最小方差资产组合w∗\pmb{w}^*www∗可以唯一表示成无风险资产组合和不含任何无风险资产的切点资产组合的组合wˉt=(w0,wt)\bar{\pmb{w}}_t=(w_0,\pmb{w}_t)wwwˉt=(w0,wwwt).

其中
{w0=0wt=V−1(E(R)−r1)b−ar\left\{ \begin{aligned} &w_0=0\\ &\pmb{w}_t=\frac{\pmb{V}^{-1}(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})}{b-ar} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧w0=0wwwt=b−arVVV−1(E(RRR)−r1)
切点出资产组合收益率的均值和方差分别为
{E(Rt)=E(R)Twt=c−brb−arσt2=wtTVwt=c−2br+r2a(b−ar)2\left\{ \begin{aligned} &E(R_t)=E(\pmb{R})^T\pmb{w}_t=\frac{c-br}{b-ar}\\ &\sigma_t^2=\pmb{w}_t^T\pmb{V}\pmb{w}_t=\frac{c-2br+r^2a}{(b-ar)^2} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧E(Rt)=E(RRR)Twwwt=b−arc−brσt2=wwwtTVVVwwwt=(b−ar)2c−2br+r2a

案例

考虑一个资产组合，其预期收益率矩阵为E(R)=[0.2,0.5]TE(R)=[0.2, 0.5]^TE(R)=[0.2,0.5]T，协方差矩阵是V=[1001]\pmb{V}=\left[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right]VVV=[1001]，无风险利率r=0.1r=0.1r=0.1，预期收益率是μ=0.2\mu=0.2μ=0.2，求切点处资产组合的均值和方差.

解析

根据公式计算
E(Rt)=E(R)Twt=c−brb−arσt2=wtTVwt=c−2br+r2a(b−ar)2\begin{aligned} &E(R_t)=E(\pmb{R})^T\pmb{w}_t=\frac{c-br}{b-ar}\\ &\sigma_t^2=\pmb{w}_t^T\pmb{V}\pmb{w}_t=\frac{c-2br+r^2a}{(b-ar)^2} \end{aligned} E(Rt)=E(RRR)Twwwt=b−arc−brσt2=wwwtTVVVwwwt=(b−ar)2c−2br+r2a
预处理参数带入公式
{a=1TV−11b=1TV−1E(R)c=E(R)TV−1E(R)\left\{ \begin{aligned} &a=\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}\mathbf{1} \\ &b=\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}E(\pmb{R})\\ &c=E(\pmb{R})^T\pmb{V}^{-1}E(\pmb{R}) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a=1TVVV−11b=1TVVV−1E(RRR)c=E(RRR)TVVV−1E(RRR)

代码

import numpy as np
from numpy import dot
from numpy.linalg import inv
def portfolio_cut(E, R, V, r, u):V=inv(V)a=dot(dot(E, V), E)b=dot(dot(E, V), R)c=dot(dot(R, V), R)ret=(c-b*r)/(b-a*r)var=(c-2*b*r+(r**2)*a)/(b-a*r)**2return (ret, var)def main():E=np.ones(2)R=np.array([0.2, 0.5])V=np.eye(2)r=0.1u=0.2ans=portfolio_cut(E, R, V, r, u)print('portfolio return is {:.4f} variance is {:.4f}'.format(ans[0], ans[1]))main()

预期收益率关系式

设有一个无风险资产和nnn个风险资产，在切点处风险资产的收益率分别为R1,R2,…,RnR_1, R_2, \dots, R_nR1,R2,…,Rn权重分别为wt1,wt2,…,wtnw_{t1}, w_{t2}, \dots, w_{tn}wt1,wt2,…,wtn，则在切点处组合收益率为
Rt=∑i=1nwtiRiR_t=\sum_{i=1}^nw_{ti}R_i Rt=i=1∑nwtiRi
由wt\pmb{w}_twwwt的表达式
wt=V−1(E(R)−r1)b−ar\pmb{w}_t=\frac{\pmb{V}^{-1}(E(\pmb{R})-r\mathbf{1})}{b-ar} wwwt=b−arVVV−1(E(RRR)−r1)
左乘V\pmb{V}VVV得到
cov(R,Rt)=Vwt=E(R)−r1b−arcov(\pmb{R}, R_t)=\pmb{V}\pmb{w}_t=\frac{E(\pmb{R})-r\mathbf{1}}{b-ar} cov(RRR,Rt)=VVVwwwt=b−arE(RRR)−r1
左乘wtT\pmb{w}_t^TwwwtT得到
σt2=wTVw=E(Rt)−rb−ar\sigma_t^2=\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w}=\frac{E(R_t)-r}{b-ar} σt2=wwwTVVVwww=b−arE(Rt)−r
整理得到
E(R)−r1=cov(R,Rt)(b−ar)=cov(R,Rt)E(Rt)−rσt2=βt(E(Rt)−r)E(\pmb{R})-r\mathbf{1}=cov(\pmb{R}, R_t)(b-ar)=cov(\pmb{R}, R_t)\frac{E(R_t)-r}{\sigma_t^2}=\beta_t(E(R_t)-r) E(RRR)−r1=cov(RRR,Rt)(b−ar)=cov(RRR,Rt)σt2E(Rt)−r=βt(E(Rt)−r)
可以得到如下定理

定理：当市场上存在无风险资产时，任意资产的收益率RiR_iRi的超额收益率等比于切点资产组合的超额收益率，且等比于比例系数βti=cov(Ri,Rt)σt2\beta_{ti}=\frac{cov(R_i, R_t)}{\sigma_t^2}βti=σt2cov(Ri,Rt)
即
E(Ri)=r+βti(E(Rt)−r)E(R_i)=r+\beta_{ti}(E(R_t)-r) E(Ri)=r+βti(E(Rt)−r)

将无风险资产推广到零贝塔资产，可以得到如下定理

定理：假设市场上资产组合仅由风险资产组合，则可以任意选择最小方差资产组合wu\pmb{w}_uwwwu与之零贝塔相关的资产组合，使得任意风险资产的收益率可以表示为
E(Ri)=E(Rz)+βui[E(Ru)−E(Rz)]E(R_i)=E(R_z)+\beta_{ui}[E(R_u)-E(R_z)] E(Ri)=E(Rz)+βui[E(Ru)−E(Rz)]

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