二叉树的深度优先遍历逆推

二叉树的深度优先遍历有三种方式，分别叫做先序遍历(preorder)、中序遍历(inorder)和后序遍历(postorder)，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。

参考：https://blog.csdn.net/weixin_43790276/article/details/105473527

一、二叉树的遍历逆推

先序遍历的遍历顺序为：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

中序遍历的遍历顺序为：左子树 -> 根节点 -> 右子树。

后序遍历的遍历顺序为：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

对于二叉树的三种遍历方式，当知道了其中的任意两种遍历方式，就可以唯一确定一棵树的结构，然后顺利地得到第三种遍历的顺序。

已知先序遍历和中序遍历的遍历顺序，可以先逆推出树的结构，然后得出后序遍历的遍历顺序。同理，已知先序遍历和后序遍历的遍历顺序，可以逆推出中序遍历的遍历顺序，已知中序遍历和后序遍历的遍历顺序，也可以逆推出先序遍历的遍历顺序。

二、二叉树遍历逆推案例

现有一棵二叉树，已知二叉树的先序遍历顺序和中序遍历顺序。

先序遍历的顺序为：A G B E J H C D F I 。

中序遍历的顺序为：B G J E H A D C I F 。

请写出该二叉树的后序遍历顺序。

要得到二叉树的后序遍历，先逆推出二叉树的结构。

1. 先看先序遍历结果，访问的第一个节点一定是根节点，所以可以确定树的根节点是 A。带着这个信息看中序遍历结果，中序遍历是先遍历左子树，根节点在中间，最后遍历右子树，所以从中序遍历的结果中找到 A，A 左边的节点全部都在左子树中，A 右边的节点全部都在右子树中。

根据第一步分析，初步得出二叉树的伪结构如下图。

2. 现在还差左子树的结构和右子树的结构不明确，先分析左子树，从先序遍历结果和中序遍历结果中将左子树的节点独立出来。

左子树先序遍历的顺序为：G B E J H 。

左子树中序遍历的顺序为：B G J E H 。

在左子树中，先序遍历第一个访问的节点一定是根节点，所以可以确定左子树的根节点是 G。带着这个信息看中序遍历结果，从中序遍历的结果中找到 G，G 左边的节点全部都在 G 的左子树中，G 右边的节点全部都在 G 的右子树中。

分析到这里，可以得出左子树的伪结构如下图。

3. 用相同的方法分析右子树，从先序遍历结果和中序遍历结果中将右子树的节点独立出来。

右子树先序遍历的顺序为：C D F I 。

右子树中序遍历的顺序为：D C I F 。

在右子树中，先序遍历第一个访问的节点一定是根节点，所以可以确定左子树的根节点是 C。带着这个信息看中序遍历结果，从中序遍历的结果中找到 C，C 左边的节点全部都在 C 的左子树中，C 右边的节点全部都在 C 的右子树中。

于是，可以得出右子树的伪结构如下图。

4. 将左子树和右子树拼接到根节点上，二叉树的伪结构如下图，又进了一步。

5. 现在还差节点 G 的右子树和节点 C 的右子树结构不明确，快速用相同的方法分析，结构分别为下图中的图左和图右。

6. 将子树拼接回二叉树中，得出了二叉树的完整结构如下图。

7. 逆推出了树的结构，可以快速得出二叉树后序遍历的顺序了。

后序遍历的顺序为：B J H E G D I F C A 。

总结上面的过程，都是先在先序遍历中找到根节点，然后在中序遍历中切分左子树和右子树，再递归。如果已知中序遍历和后序遍历的顺序，也可以先在后序遍历中找到根节点，然后在中序遍历中切分左子树和右子树，再递归即可。

三、二叉树遍历逆推案例二

如果已知的是先序遍历和后序遍历的顺序，先序遍历和后序遍历都可以轻易找到根节点，但是没有中序遍历来切分左右子树，怎么逆推出中序遍历呢？

直接看案例吧，已知二叉树的先序遍历顺序和后序遍历顺序。

先序遍历的顺序为：10 70 60 20 40 90 50 80 30 。

后序遍历的顺序为：60 40 90 20 70 80 30 50 10 。

请写出该二叉树的中序遍历顺序。

1. 先看先序遍历结果，访问的第一个节点一定是根节点，所以可以确定树的根节点是 10。先序遍历访问完根节点后，会先访问左子树再访问右子树，左子树的节点一定都排在右子树的前面，并且访问左子树也是先访问根节点，所以访问的第二个节点一定是左子树的根节点，左子树的根节点是 70。

带着这个信息看后序遍历结果，后序遍历的根节点一定排在其他节点的最后，左子树也一样，左子树的根节点也一定排在左子树其他节点的最后。左子树的根节点是 70，所以 70 及左边的节点全部都在左子树中，除了根节点，70 右边的节点全部都在右子树中。

这样，就分析出了树的根节点是 10，左子树中的节点为 60 40 90 20 70，右子树中的节点为 80 30 50。

2. 现在将左子树独立出来分析，在后序遍历中已经找到了左子树的全部节点，共5个节点，直接将这个5个节点独立出来即可。到先序遍历中，去掉根节点，按顺序取5个节点，就是左子树的先序遍历。

左子树先序遍历的顺序为：70 60 20 40 90 。

左子树后序遍历的顺序为：60 40 90 20 70 。

用同样的方法进行分析，可知 70 的左子树只有 60 一个节点，70 的右子树有 40 90 20 三个节点。

3. 继续用同样的方法对右子树分析，如果左子树和右子树中还有子树，继续使用相同的方法递归逆推。

4. 最终得出树的结构如下图。

5. 逆推出了树的结构，可以快速得出二叉树中序遍历的顺序了。

中序遍历的顺序为：60 70 40 20 90 10 80 50 30 。

以上就是二叉树的深度优先遍历逆推了。

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