湍流模型（1）——湍流的统计描述

湍流是一种随机的、非定常的、混沌的不规则流动状态，内部是无数形状和尺度不同的漩涡。湍流的高度复杂性使得描述流体粒子的运动变得异常困难，因此研究者们转而使用统计学的方法。如下图所示，将湍流的瞬时量u(t)分解为定常量U和瞬时扰动量的和，即u(t)=U+u′(t),u(t)=U+u^\prime(t),u(t)=U+u′(t),
这种描述方式就是雷诺分解（Reynolds decomposition）。上式中的uuu不仅指速度分量，可以代表湍流的其他特征量，如压力ppp等。

在雷诺分解的基础上，根据统计学理论就可以得出一堆湍流统计量：
时间平均/均值(time average/mean)
流动特征量ϕ\phiϕ的时间平均定义为
ϕˉ=Φ=1Δt∫0Δtϕ(t)dt\bar \phi = \Phi=\frac{1}{\Delta t}\int^{\Delta t}_{0} \phi(t)dtϕˉ=Φ=Δt1∫0Δtϕ(t)dt
上式中的Δt\Delta tΔt理论上应该是趋于无穷的，因为毕竟是统计量，小样本就没有统计价值了。其实只要满足Δt\Delta tΔt大于ϕ\phiϕ的周期的时间尺度，上式定义的均值就是有意义的。
扰动量ϕ′\phi^\primeϕ′的时间平均恒等于0，定义如下，
ϕˉ′=1Δt∫0Δtϕ′(t)dt≡0\bar{\phi}^\prime = \frac{1}{\Delta t} \int ^{\Delta t} _{0} \phi ^\prime (t)dt \equiv 0ϕˉ′=Δt1∫0Δtϕ′(t)dt≡0
所以，ϕ=Φ+ϕ′\phi = \Phi + \phi ^\primeϕ=Φ+ϕ′

以下统计量主要对于扰动分量而言：
方差(Variance)
(ϕ′)2‾=1Δt(ϕ′)2dt\overline{(\phi ^\prime)^2} = \frac{1}{\Delta t} (\phi ^\prime)^2 dt(ϕ′)2=Δt1(ϕ′)2dt
均方根(r.m.s)
ϕrms=(ϕ′)2‾=[1Δ∫0Δt(ϕ′)2dt]1/2\phi _{rms} = \sqrt{\overline{(\phi ^\prime)^2}}=[\frac{1}{\Delta} \int^{\Delta t}_{0} (\phi ^\prime)^2 dt]^{1/2}ϕrms=(ϕ′)2=[Δ1∫0Δt(ϕ′)2dt]1/2
统计矩（moment）
对于变量ϕ=Φ+ϕ′\phi = \Phi + \phi ^\primeϕ=Φ+ϕ′和ψ=Ψ+ψ′\psi = \Psi + \psi ^\primeψ=Ψ+ψ′，其扰动量的二阶矩定义为
ϕ′ψ′‾=1Δt∫0Δtϕ′ψ′dt\overline{\phi ^\prime \psi ^\prime} = \frac{1}{\Delta t} \int^{\Delta t}_{0} \phi ^\prime \psi ^\prime dtϕ′ψ′=Δt1∫0Δtϕ′ψ′dt

高阶矩（higher-order moment）
(ϕ′)3‾=1Δt∫0Δt(ϕ′)3dt\overline{(\phi ^\prime)^3} = \frac{1}{\Delta t} \int^{\Delta t}_{0} (\phi ^\prime)^3 dt(ϕ′)3=Δt1∫0Δt(ϕ′)3dt
(ϕ′)4‾=1Δt∫0Δt(ϕ′)4dt\overline{(\phi ^\prime)^4} = \frac{1}{\Delta t} \int^{\Delta t}_{0} (\phi ^\prime)^4 dt(ϕ′)4=Δt1∫0Δt(ϕ′)4dt

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