解线性方程组是工程数学中最常见的模型之一。所说的“最常见”有两方面的含义：

１）一部分工程问题的本身建立的就是线性方程组模型；

２）较多工程问题建立的非线性方程组模型需要转化为线性方程组的求解。

线性方程组为Ax=b，以下介绍求解方法，

一.高斯列主元消去法

1.1介绍 1.2例题 1.3特点

二.LU分解求解方程组

2.1公式介绍 2.2求解思路 2.3例题

三.特殊的LU分解

3.1平方根法、3.2Cholesky分解 3.2.1方法介绍 3.2.2例题 3.3改进的平方根法 3.3.1方法介绍 3.3.2分解过程 3.3.3例题

四.向量和矩阵的范数

4.1向量的范数 4.2矩阵的范数 4.2.1 例题

五.矩阵的条件数与误差分析 5.1误差原因 5.1.1病态矩阵介绍 5.2线性方程组的误差分析 5.2.1 b有误差而A无误差的情形 5.2.2条件数的性质 5.2.3例题

六.参考资料

一.高斯列主元消去法

1.1介绍

方程需要有唯一解，并且不接近不接近奇异矩阵。高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素——列中绝对值最大的元（数）取作主元素。在每轮消元前,根据需要消去的行，确定消元因子Lij（小于1的数）。以下是运算的步骤：

（1）选列主元素：从最左侧列开始选，同一列中最大值。（2）交换两行：是列主元所在的行为第一行,若不是，则交换两行。（3）消元运算：用列主元将每一列的其余项消为0。（4）重复以上步骤（5）代入求解：得到一个x的解，代入其他行，求解得到其他的x解。

1.2例题

用高斯列主元消去法解方程组：

解：

易得方程组的解为 $x=(1,-3,2)^{T}$

1.3特点

高斯列主元消去法是数值稳定的方法。

二.LU分解求解方程组

2.1公式介绍

高斯消去法的过程，可以看作下三角矩阵 $L^{-1}$ 左乘系数矩阵A,乘积为可逆的上三角矩阵U。系数方程组为Ax=b,将Ux看作y，先解y，再解x。则有以下的公式：

其中A为系数矩阵，L为单位的下三角矩阵，U为可逆的上三角矩阵

2.2求解思路

（1）首先确定A分成的L和U。由 A 的第一行、第一列元素确定 U 的第一行、L 的第一列元素。再确定U的下一行，L的下一列。可以确定全部的L,U值。（2）解方程组Ly=b，求解y的值，再解方程组Ux=y，求解x的值。

2.3例题

用LU分解解方程组

（1）对A进行LU分解：A=LU

易得y的解为 $y=(3,-5,6)^{T}$ ，x的解为 $x=(2,-2,1)^{T}$

三.特殊的LU分解

3.1平方根法

平方根法是解对称正定方程组的有效方法，系数矩阵A分解为L和U，再将U分解成D和Uo。可以得到A=L·D·Uo 。具体分解如下：

对称正定矩阵A有唯一的分解 $A=L\cdot D\cdot L^{T}$ ,D是正定对角阵——对角矩阵只在对角线上含有非0元素，其它位置都为0。D的对角元素Uij，记作 $D=D^{\frac{1}{2}}\cdot D^{\frac{1}{2}}$ ，其中 $D^{\frac{1}{2}}$ 为下图矩阵

则 $A=L\cdot D\cdot L^{T}=L\cdot D^{\frac{1}{2}}\cdot D^{\frac{1}{2}}\cdot L^{T}=(L\cdot D^{\frac{1}{2}})\cdot (L\cdot D^{\frac{1}{2}})^{T}$

3.2Cholesky分解

3.2.1方法介绍

将上述中 $(L\cdot D^{\frac{1}{2}})$ 记作L,则 $A=L\cdot L^{T}$ 被称为Cholesky分解。利用 Cholesky 直接分
解公式，推导出的解方程组方法，称为 Cholesky 方法或平方根法。

求解思路:

（1）首先将对称正定矩阵A分解成 $L\cdot L^{T}$ 。（2）根据矩阵乘法，逐步确定L的第i行元素，得到 $L$ 和 $L^{T}$ 。（3）方程组 $Ax=b$ 转换为 $L\cdot L^{T}\cdot x=b$ 。解 $Ly=b$ ，得y的解，解 $L^{T}\cdot x=y$ ,得x的解。

3.2.2例题

用Cholesky 方法解方程组

解：对系数矩阵A进行分解得到

解 $Ly=b$ ，得 $y=(2,3.5,1)^{T}$ ,解 $L^{T}x=y$ ，得 $x=(1,1,1)^{T}$ 。

3.3改进的平方根法

3.3.1方法介绍

用平方根法解对称正定方程组时，求解L时用到开方的运算。为避免开方运算，改进平方根法，得到改进的平方根法——其适用于A是对称正定，或A对称且顺序主子式全不为0的情况。

3.3.2分解过程

将A分解为 $L\cdot D\cdot L^{T}$ ，L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，分解的L、D如下

求解思路

（1）首先将对称正定矩阵A分解为 $L\cdot D\cdot L^{T}$ 。（2）有Ax=b， $L\cdot D\cdot L^{T}$ x=b。首先解Ly=b，解得y，再解 $D\cdot L^{T}$ x=y，解得x。

3.3.3例题

用改进的平方根法解方程组

四.向量和矩阵的范数

为了对线性方程组的直接法做出误差分析和讨论方程组迭代法的收敛性。引入向量空间中向量及向量序列极限的大小。范数是用来度量向量的大小的。

4.1向量的范数

对于一个向量x，其满足条件，

（1）1—范数：值为所有向量的绝对值之和。

（2）2—范数：值为向量和他的转置向量乘积，再开根号。

（3） $\propto$ —范数：值为向量中的最大值

4.2矩阵的范数

（1）1—范数：值为所有的列向量组中绝对值和最大值。

（2）2—范数：值为A的转置和A的乘积的矩阵的最大的特征值，再开根号。

（3） $\propto$ —范数：值为所有的行向量组中绝对值和的最大值。

（4）F—范数：值为矩阵中所有值的平方和，再开根号。

4.2.1 例题:

求矩阵的范数：

解得：

五.矩阵的条件数与误差分析

5.1误差原因

直接法解线性方程组产生误差的主要原因：

（1）算法及舍入误差的影响。

（2）方程组本身存在病态，原始数据扰动对解影响。

5.1.1病态矩阵介绍

如果矩阵A或者常数项b的微小变化，引起了方程组Ax=b的解——x的巨大变化，称此方程组为病态方程组，矩阵A相对于方程组为病态矩阵，反之称为良态方程组、良态矩阵。

5.2线性方程组的误差分析

5.2.1 b有误差而A无误差的情形

将带有误差的右端项b和带误差的解向量x*代入方程组Ax=b，则有等式：

因为 x*为精确值，有A x*=b，则有 $A\cdot \delta_{x}=\delta_{b}$ 。不等式1 ${\color{Red} \left \|\delta_{x} \right \|\leq \left \| A^{-1} \right \|\cdot \left \| \delta_{b} \right \|}$ ，取范数为，同时Ax=b，取范数，即不等式2 。不等式1比上不等式2可得

误差估计式：

其中方阵A的条件数 $cond(A)=\left \| A^{-1} \right \|\cdot \left \| A \right \|$ 。

5.2.2条件数的性质

条件数很大的矩阵称为“病态”矩阵；病态矩阵对应的方程组称为病态方程组。反之，则称矩阵为良态矩阵，对应的方程组为良态方程组。

（1）解的相对误差是右端项b的相对误差的 cond(A)倍；（2）如果条件数越大，则解的相对误差就可能越大；
（3）条件数成了刻划矩阵的病态程度和方程组解对A或b扰动的敏感程度。

5.2.3例题：

已知方程组Ax=b，b有扰动 $\delta _{b}=(-0.001,0.001,-0.001)^T$ ，估计解的相对误差。

根据误差估计式：

分别求解右侧的值cond(A)， $\left \| \delta_{b} \right \|$ ， $\left \| \delta_{} \right \|$ 。并求解其无穷范数，代入不等式得：

解的相对误差相比右端项b的相对误差相差了2015倍。

六.参考资料

1.<<数值分析>>北京理工大学出版，感谢曾繁慧胡行华两位老师

2.辽宁工程技术大学，工程数学考试重点。

3.感谢鞠采洋对我的支持。

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2.2求解思路

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三.特殊的LU分解

3.1平方根法

3.2Cholesky分解

3.2.1方法介绍

3.2.2例题

3.3改进的平方根法

3.3.1方法介绍

3.3.2分解过程

3.3.3例题

四.向量和矩阵的范数

4.1向量的范数

4.2矩阵的范数

4.2.1 例题:

五.矩阵的条件数与误差分析

5.1误差原因

5.1.1病态矩阵介绍

5.2线性方程组的误差分析

5.2.1 b有误差而A无误差的情形

5.2.2条件数的性质

5.2.3例题：

六.参考资料

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