1 绪论

1.1应用

科学计算可视化

地理信息系统(GIS)

娱乐

电脑游戏，电视广告，节目片头，科教演示(CAI)

多媒体

VR(虚拟现实、灵境)

自然景物的模拟(真实感图形绘制)

计算机动画

二维动画 ：图像变形，形状混合

三维动画 ：变形物体的动画，关节动画与人体动画 ，过程动画 ，关键帧动画

计算机艺术

1.2定义

图形 &构成图形的要素

图形:

– 客观对象在人的视觉系统中产生的视觉印象

– 包括自然景物、拍摄到的图片等，可用用数学方法描述

构成图形的要素:

– 几何要素:刻画对象的轮廓、形状等

– 非几何要素:刻画对象的颜色、纹理等

计算机中表示图形的方法

点阵表示

• 枚举出图形中所有的点(强调图形由点构成)
• 简称为图像(数字图像)。

参数表示

• 形状参数(方程或分析表达式的系数，线段的端点坐标等)+属性参数(颜色、线型等)来表示图形
• 简称为图形。

什么是计算机图形学

定义:计算机图形学是研究怎样用计 算机输入、生成(处理)、存储、显示 输出图形的一门学科。

计算机图形学的研究内容

具体概括为:图形硬件、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法，以及图形标准、图形交互技术、 科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真、虚拟现实等。

图形输入设备的发展

– 第一阶段:控制开关、穿孔纸等等

– 第二阶段:键盘

– 第三阶段:二维定位设备，如鼠标、光笔、图 形输入板、触摸屏等等，语音

– 第四阶段:三维输入设备(如空间球、数据手 套、数据衣)，用户的手势、表情等等

– 第五阶段:用户的思维

ACM SIGGRAPH会议(小知识)

– 全称 “the Special Interest Group on Computer Graphics and Interactive Techniques”

– 60年代中期，由Brown 大学的教授Andries van Dam (Andy) 和IBM公司的Sam Matsa发起

– 1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH 年会，并取得了巨大的成功

– 每年只录取大约50篇论文

常见的标准

通用的、与设备无关的图形包，图形标准

GKS (Graphics Kernel System) (第一个官方标准，1977)

PHIGS(Programmer’s Herarchical Iuteractive Graphics system)

非官方图形软件

广泛应用于工业界,成为事实上的标准

DirectX (MS)

Xlib(X-Window系统)

OpenGL(SGI)

Adobe公司Postscript

2 光栅设备

2.1 光栅输入设备

概念

像素：整个屏幕被扫描线分成 n 行，每行有 m 个点，每个点为一个像素。整个屏幕有 m × n 个像素。

设备

数字化仪是一种把图形转变成计算 机能接收的数字形式专用设备。基本工作原理是采用电磁感应技术。

扫描仪 ：平面图象扫描仪 &三维立体扫描仪，图形扫描仪是直接以像素信息进行扫描和存储的设备。

2.2 光栅输出设备

概念

图像刷新：由于CRT内侧的荧光粉在接受电子束的轰击时，只能维持短暂的发光， 根据人眼视觉暂留的特性，需要不断 进行刷新才能有稳定的视觉效果。图像的刷新频率等于帧扫描的频 率(帧频)，用每秒刷新的帧数表示; 目前刷新频率标准为每秒50~120帧。

行频、帧频：水平扫描频率为行频，垂直扫描频率为帧频。

逐行扫描、隔行扫描： 隔行扫描方式是先扫偶数行扫描线，再扫奇数行扫描线。

显示速度：指显示字符、图形特别是动态图像的速度，与显示器的分辨率及扫描频率有关。

分辨率：是指CRT在水平或垂直方向的单位长度 上能分辨出的最大光点(像素)数，分为水平分辨率和垂直分辨率。通常用屏幕上像素的数目来表示。比如 上述的 n 行，每行 m 点的屏幕分辨率为 m ×n。

点距：相邻像素点之间的距离。在同样面积大小的情况下，分辨 率越高，相邻像素点之间的距离越小，显示的字符或图像也就越清晰。

亮度等级与色彩等级：亮度等级又称灰度，主要指单色显示器的亮度变化;色彩等级是指像素颜色等级。

帧缓冲存储器(显示存储器)简称帧缓冲器，俗称显存。存储被刷新图像的信息，即存储屏幕上像素的颜色值。帧缓冲存储器的大小通 常用X方向(行)和Y方向 (列)可寻址的地址数的乘 积来表示，称为帧缓冲存储器的分辨率。帧缓存中单元数目与显示器上像素数目相同，单元与像素一一对 应;各单元的数值决定了其对应像素 的颜色。

黑白光栅扫描显示器

分为:1位帧缓存黑白光栅显示器 ，N位帧缓存灰度光栅显示器

灰度等级在光栅图形显示器中需要足够 的位面才能反映图形，存储器中的二进制位数被翻译成灰度等 级，范围是0到2的N次方-1之间。

彩色光栅扫描显示器

分辨率M*N、颜色个数K的光栅输出 设备，与显存大小V 的大小关系为:
V > = M ∗ N ∗ [ l o g 2 k ] 向 上 取 整 V >= M * N * [log 2 k]向上取整 V>=M∗N∗[log2k]向上取整
若存储器大小固定，则屏幕分辩率 与同时可用的颜色种数成反比关系。

显存问题– 高分辨率和真彩要求有大的显存

对于小显存如何完成大范围的显示颜色如何实现: 在不增加帧缓存单元位数的情况下，具有大范围内挑选颜色的能力。

解决方法:采用查色表(Lookup Table)或称彩色表 (Color Table)

查色表（look up Table）是一维线性表，其每一项的内容对应一种颜色，它的长度由帧缓存单元的位数决定，例如：每单元有8位，则查色表的长度为 2^8 =256。

简单的光栅扫描图形显示系统的结构

其中，帧缓存可为系统内存中的一块区域， 视频控制器能够直接存取该区域以刷新屏幕。

作用:建立帧缓存与屏幕像素之间 的一一对应，负责刷新。

光栅显示系统的特点

优点:

– 成本低

– 易于绘制填充图形

– 色彩丰富

– 刷新频率一定，与图形的复杂程度无关 – 易于修改图形

缺点:

– 需要扫描转换

– 会产生混淆

3 基本图形绘制

3.1 图元扫描转换

– 3.1.1 直线段扫描转换

基本思路

确定最佳逼近于该直线的一组象素

按扫描线顺序，对这些象素进行写操作

三个常用算法

(1)数值微分(Digital Differential Analyzer)算法

计算yi+1= kxi+1+b= k(xi+x) +b = kxi+b+kx= yi+kx

当x每递增1，y递增k(即直线斜率);

注意:上述分析的算法仅适用于|k|≤1的情形。此时，x每增加1,y最多增加1。

当 |k|>1时，必须把x，y地位互换且y增1，则x增1/k。

DDA算法是一个增量算法:在一次迭代计算中，每一步的x、y值是用前一步的值加上一个增量来获得的。

该方法直观，但y和k需要 浮点表示、以及y的舍入运 算，这不利于硬件实现。

void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)
{int x;float dx, dy, y, k;dx = x1-x0; dy=y1-y0; k=dy/dx ; y=y0;for (x=x0; x<=x1; x++){DrawPixel (x, int(y+0.5), color);y=y+k;}
}

(2)中点画线法

基本思路(原理)—位置关系

计算效率改进：由于只用d 的符号作判 断，为了只包含整数运算, 可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。

void midPoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)
{ int a, b, d1, d2, d, x, y;a=y0-y1; b=x1-x0; d=2*a+b; d1=2*a ;d2=2* (a+b);x=x0;y=y0;drawpixel(x, y, color); while (x<x1) {if (d<0) {x++; y++; d+=d2; } else {x++; d+=d1;} drawpixel (x, y,color);} /* while */
} /* mid PointLine */

(3)Bresenham画线算法

基本思路(原理)—位置关系：由误差项符号决定下一个象素取正右方像素还是右上方像素。

初始值ε(x2)= k -0.5 (k为斜率)

ε(xi+2)= ε(xi+1) + k -1 当ε(xi+1)≥0

ε(xi+2)= ε(xi+1) + k 当ε(xi+1)≤0

Bresenham算法改进内容：

上述Bresenham算法在计算斜率时 (判断直线走向)用到除法。

此外，在计算误差项时用到小数， 由于算法中只用到误差项的符号来判断，因此，如下替换不会改变算法性质: e’=2*e*dx

Bresenham算法优点：

整数运算，速度快;精度高;乘2可用移位运算，适于硬件实现。

BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color)
{int x0,y0,x1,y1,color;int x,y,dx,dy;float k,e;dx = x1-x0;dy = y1-y0;e = -dx; x=x0; y=y0; for( i=0; i<=dx; i++){drawpixel(x,y,color); x++; e=e+2*dy;if(e >=0){ y++;e=e-2*dx;}} }

– 3.1.2 圆弧扫描转换

圆弧的扫描转换

1.确定最佳逼近于该圆弧的一组像素

2.按扫描线顺序，对这些像素进行写操作

中点画圆法

midPointCircle(int r, int color)
{ int x,y;float d;x=0; y=r; d=1.25-r; drawpixel(x,y,color); while(x<y){if(d<0){ d+ = 2*x+3; x++ }else{d+ = 2*(x-y) + 5; x++;y--; }}
}

算法改进：为了进一步提高算法的效率，可以将上 面的算法中的浮点数改写成整数，将 乘法运算改成加法运算，即仅用整数 与加减法实现中点画圆法:使用 e= d-0.25 代替d因 d0 = 1.25 – R=1-R+0.25，d0-0.25 = 1-R，因此 e0 = d0- 0.25 = 1-R

Bresenham画圆算法

d0=3-2R

当di<0时:取Hi,此时yi=yi-1 则 di+1= di +4xi-1+7

当di ≥ 0时:取Li,此时yi=yi-1 - 1，则 di+1=di +4(xi-1-yi-1)+11

– 3.1.3 椭圆弧扫描转换-中点画法

MidpointEllipe(a,b, color)
{ int a,b,color;int x,y; float d1,d2;x = 0; y = b;d1 = b*b +a*a*(-b+0.25); putpixel(x,y,color);while( b*b*(x+1) < a*a*(y-0.5)) {if(d1<0){d1 +=b*b*(2*x+3);x++; }else{d1 +=(b*b*(2*x+3)+a*a*(-2*y+2));x++; y--;} putpixel(x,y,color);}//上部分d2 = sqr(b*(x+0.5)) +sqr(a*(y-1)) – sqr(a*b); while(y >0){if (d2 <0) { d2 +=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3); x++; y--;}else{d2 += a*a*(-2*y+3); y--; } putpixel(x,y,color); }
}

3.2 实区域填充

点在多边形内的包含性检验：

• 检验夹角之和：若夹角和为0，则点p在多边形外；若夹角和为360°， 则点p在多边形内。
• 射线法检验交点数：交点数=偶数(包括0) ，点在多边形之外；交点数 = 奇数，点在多边形之内。
• 包围盒法

填充扩大化(边界取舍)问题：规定落在右/上方扫描线上象素不被填充

原理：利用图形的空间连贯性和扫描线的连贯性

顶点交点的计数(取舍)问题：根据交于该顶点的两条边的另外两个端点的y值大于该顶点y值的个数来判断选取该点的个数

区域填充的简单思路与问题：

• 基本思路: 所有扫描线与所有的边求交、排 序、配对、填充。
• 规律是: 每条扫描线只与少数的边相交，甚至整个多边形都不相交。

3.2.1 扫描线填充算法—扫描线的顺序

– 有序边表算法

空间连续性规律:

• 边的连续性:当某边与当前扫描线相交时，它很可能与下一条扫描线相交;

• 扫描线的连续性:当前扫描线与各边的交点顺序与下一条扫描线与各边的交点顺序，很可能相同或非常相似。

相关概念：与当前扫描线相交的边称为活性边(Active Edge)，把它们按与扫描线交点x坐标递增的顺序存入一个链表中，称为活性边表AEL(Active Edge Table)。

基本思想：

连贯性的存在:多边形的边的连贯性 &扫描线的连贯性

下一条扫描线的活性边表 -> 只需对当前扫描线的活性边表作更新即可得到

具体实现:活性边表的转换与更新

删除旧边:删除与下条 扫描线不再相交的边

插入新边:插入与下条扫描线新相交的边

调整交点顺序:得到新 的活动边表(按照x递增)

活性边表的建立–表中需存放的信息:

x:当前扫描线与边的交点;

△x=-b/a=1/k :从当前扫 描线到下一条扫描线之 间的x增量;

ymax:边所交的最高扫描线 (边何时不再与下条扫描线相交)

新边表的建立: 依据扫描线顺序，存放第一次出现的边(已出现过的边不计)。

存放的信息:

x:扫描线与该边的初始交点(下端点)

△x:从当前扫描线到下一条扫描线之 间的x增量

ymax:该边的最大y值(最高扫描线)

有序边表算法—具体描述

对第i条扫描线 -> 第i+1条扫描线->最终填充

step1:把新边表NET[i]中的边结点，用插入排序(与交点计数法则有关)法插入活性边表AET(期初为空)，使之按X坐标递增顺序排序;

step2:遍历AET表(结合交点计数规则):把配对交点之间的区间(左闭右开)上的各象素(X,Y)，用drawpixel(x,y,color)改写象素颜色值;

step3:遍历AET表:把 i = Ymax的结点从AET表中删除，并把i < Ymax的结果点的X值递增△X;

step4:对下一条(第i+1条)扫描线，重复以上过程

优点:

– 对每个像素只访问一次

– 与输入/出细节无关 -> 设备无关

缺点:

– 数据结构复杂

– 只适合软件实现

– 边填充算法

• 优点:

– 最适合于有帧缓存的显示器

– 可按任意顺序处理多边形的边

– 算法简单:仅访问与该边有交点的扫描线上右方的像素

• 缺点:

– 对复杂图形，每一像素可能被访问多次，输入/输出量大

– 图形输出不能与扫描同步进行，只有全部画 完才能打印

边填充算法(改进)—栅栏填充算法

• 基本思想:

经过多边形的某个顶点，在多边形内部建立一个与扫描线垂直的“栅栏”，当扫描线与多边形边有交点，就将交点与栅栏之间的象素取补。若交点位于栅栏左边，则将交点之右，栅栏之左的所有象素取补;若交点位于栅栏右边，则将栅栏之右，交点之左的象素取补。

• 3.2.2 种子填充算法—内部一个点出发

• 种子填充指先将区域的一点赋予指定的颜色， 然后将该颜色扩展到整个区域的过程。
• 种子填充算法要求区域是连通的

– 简单种子算法(4连通边界)

种子像素入栈,当栈非空时，重复以下步骤:

(1)栈顶像素出栈

(2)将出栈象素置成填充色

(3)按右、上、左、下(逆时针)顺序检查与出栈象素相邻的四象素，若其中某象素不在边界上且未被置成填充色，则将其入栈

void FloodFill4(int x,int y,int fillColor,int oldColor)
{int current;current = getpixel(x, y); if (current == oldColor){putpixel(x, y, fillColor);BoundaryFill4(x+1, y, fillColor, oldColor);BoundaryFill4(x-1, y, fillColor, oldColor);BoundaryFill4(x, y+1, fillColor, oldColor);BoundaryFill4(x, y-1, fillColor, oldColor);}
}

• 优点:

该算法也可以填充有孔区域

• 缺点:

(1) 有些象素会入栈多次，降低算法效率; 栈结构占空间。

(2) 递归执行，算法简单，但效率不高。区 域内每一象素都引起一次递归，进/出栈， 费时费内存。

• 改进算法，减少递归次数，提高效率。 解决方法是用扫描线种子填充算法

– 扫描线种子算法

• 目标:减少递归层次

• 适用于边界表示的4连通区域

扫描线种子填充算法(基本思想)

1在任意不间断区间中只取一个种子像素(不间断区间指在一条扫描线上一组相邻元素)

2 填充当前扫描线上的该段区间;

3然后确定与这一区段相邻的上、下两条扫描线上位于区域内的区段，并依 次把它们保存起来;

4反复进行这个过程，直到所保存的各区段都填充完毕。

扫描线种子填充算法(详细描述)

种子像素入栈,当栈非空时，重复以下步骤:

(1)栈顶像素出栈

(2)沿扫描线对出栈像素的左、右像素进行填充，直到遇到边界像素为止

(3)将上述区间内最左、最右像素记为xl和xr

(4)在区间[xl,xr]中检查与当前扫描线相邻的上、下两条扫描线上的像素是否全为边界像素、或已填充的像素。若为非边界、未填充的像素，则把每一区间的最右像素取为种子像素入栈

3.3 图形反走样

反走样概念

• 用离散量表示连续量引起的失真现象称之为走样(aliasing) 。

• 用于减少或消除走样现象的技术称为反走样(antialiasing)。

反走样的方法

• 提高分辨率(硬件、软件方法)

提高分辨率—硬件方法：把显示器分辨率提高一倍，直线经过两倍的象素，锯齿个数也会增加一倍， 但同时每个阶梯的宽度也减小了一倍，所以显示出的直线段看起来就平直光滑了一些。

硬件方法评价：方法简单，但代价非常大，显示器的水平、竖直分辩率各提高1倍， 则显示器的点距减少1倍，帧缓存容量则增加到原来的4倍，而扫描转换同样大小的图元却要花4倍时间；而且只能减轻而不能彻底消除锯齿问题。

提高分辨率—软件方法：高分辨率计算低分辨率显示，把每个像素分为四个子像素，扫描转换算法求得各子像素的灰度值，然后对四像素的灰度值简单平均，作为该像素的灰度值。

软件方法评价：只能减轻而不能消除锯齿问题。

• 简单区域取样

两点假设:1.象素是数学上抽象的点，它的面积为0，它的亮度由覆盖该点的图形的亮度所

决定;2.直线段是数学上抽象直线段，它的宽度为0。

现实:像素的面积不为0;直线段的宽度至少为1个像素。

方法步骤:(1)、将直线段看作具有一定宽度的狭长矩形 (2)、当直线段与某象素有交时，求出两者相交区域的面积 (3)、根据相交区域的面积，确定该象素的亮度值。

缺点:

• 象素的亮度与相交区域的面积成正比， 而与相交区域落在象素内的位置无关， 这仍然会导致锯齿效应。
• 直线条上沿理想直线方向的相邻两个象素有时会有较大的灰度差。

4 自由曲线与曲面

4.1 概述

形状表示与设计的要求

(1)易于实现光滑连接

(2)形状易于预测、控制和修改

(3)几何意义直观， 设计不必考虑其数学表达

4.2 参数曲线基础

函数的常见表达形式

标量函数:平面曲线 :y = f(x) 空间曲线 :y = f(x) z = g(x)

矢量函数:平面曲线 ?(t) = [x(t),y(t)]空间曲线 ?(t) = [x(t),y(t),z(t)]

曲线的表示形式

非参数表示

参数表示

参数矢量表示

参数表示的优点

1)可满足几何不变性的要求。

2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状

3)对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。

4)便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

5)便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维 空间去。

6)规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几 何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义 边界。

7)易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

曲线间连接的光滑度的度量

参数连续性

几何连续性

直观的、易于交互控制的连续性

0阶几何连续

曲线P=P(t)在 t = t0 处0阶几何连续:如果它 在 t0处位置连续，即:p(t0-)=p(t0+)，记为GC0

1阶几何连续

曲线P=P(t)在t = t0 处1阶几何连续:如果它在该处 GC0 ,并且切矢量方向连续:

记为GC1

2阶几何连续

曲线P=P(t)在 t = t0 处2阶几何连续:如果它在 t0 处:

(1)GC1 (即:切矢量方向连续)

(2)副法线矢量方向连续 B(t0-)=B(t0+)

(3)曲率相等 k(t0-) = k(t0+)

曲线、曲面拟合方法

已知条件

一系列有序的离散数据点 （型值点、控制点 ）

边界条件

连续性要求

生成方法

插值

点点通过型值点（型值点：曲线上的点）

插值算法:线性插值、抛物样条插值、Hermite插值

逼近

在一定的误差范围内曲线贴近型值点

最小二乘法、回归分析

拟合

构造曲线的轮廓线贴近型值点或控制点（控制点：控制曲线的点，但曲线不一定过）

Bezier曲线、B样条曲线等

生成曲线的视觉要求：光顺(满足的条件)—不拐来拐去

具有二级几何连续

不存在多余的拐点和奇异点

曲率变化比较小

4.3 参数多项式曲线

概念

位置矢量

几何矩阵

控制顶点

基矩阵

基函数

代数系数矩阵

几何系数矩阵/ 条件边界矩阵 / 几何矩阵

调和函数

4.4 三次Hermite曲线

形状控制

改变端点位置矢量

调节切矢量 P0’,P1’的方向

调节切矢量 P0 ‘,P1’ 的长度

优缺点

优点

简单，易于理解

缺点

难以给出两个端点处的切线矢量作为初始条件

不方便

所有参数插值曲线的缺点

只限于作一条每点都通过给定数据点的曲线

只适用于插值场合，如外形的数学放样

不适合于外形设计

4.5 Bezier曲线

Hermit曲线需要知道起点、终点的切矢，这在实 际工作中很难确定，如果将切矢用位矢代替，问题 就会迎刃而解，Bezier就是从这点入手的。

Bezier基函数–Bernstein多项式

Bernstein基函数的性质

Bezier曲线的性质

Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法

优缺点

优点:形状控制直观, 设计灵活

缺点:

所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远

局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均

控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高

控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱

曲线拼接需要附加条件，不太灵活

4.6 B样条曲线

对于B样条曲线来说，特征多边形每增加一个顶点，就相应增加一段B样条曲线。因此，B样条曲线 很好地解决了曲线段的连接问题。

特殊外形设计

相切于控制多边形边的曲线–两顶点重合

含有尖点的曲线—三顶点重合

反向弧切接效果—用三点共线的方法

接入一段直线—可用四点共线的方法

优缺点

优点:

与控制多边形的外形更接近

局部修改能力

任意形状，包括尖点、直线的曲线

易于拼接

阶次低，与型值点数目无关，计算简便

缺点:

不能精确表示圆

4.7 曲面的生成

5 真实感绘制-图形裁剪

图形裁剪：确定图形中哪些部分落在显示区之内，哪些落在显示区之外,以便只 显示落在显示区内的那部分图形。图形裁剪算法，直接影响图形系统的效率。

5.1 点的裁剪

P点在窗口内的条件是: xL <=x<=xR and yB <=y<=yT 否则，P点就在窗口外。

5.2 直线段裁剪

直线段裁剪算法是复杂图形裁剪的基础。 复杂的曲线可以通过折线段来近似，从而 裁剪问题也可以化为直线段的裁剪问题。

裁剪线段与窗口的关系: (1)完全可见; (2)完全不可见; (3)其它。

一个概念:显然不可见:即在窗口的某条边的 延长线的非窗口一侧。

1直接求交算法:Cohen-Sutherland算法

编码顺序：上下右左

基本思想

对于每条线段P1P2分为三种情况处理:

(1)若P1P2完全在窗口内，则显示该线段P1P2。

(2)若P1P2显然不可见，则丢弃该线段。

(3)若线段不满足(1)或(2)的条件，则线段与 窗口的边相交，在交点处把线段分为两段。 其中一段完全在窗口外，可弃之。然后对另一段重复上述处理。

算法描述

–若P1P2完全在窗口内:code1=0,且code2=0,则“取”

–若P1P2显然在窗口外:code1&code2≠0，说明在窗口 的某一侧,则“弃”(显然不可见)

–否则，求线段与某一边的交点,在交点处把线段分为两段。其中一段完全在窗口外，可弃之。然后对另一 段重复上述处理。

直线裁剪算法小结

优点:简单，易于实现。按上，下， 右，左的顺序依次进行，处理之后， 剩余部分就是可见的了。

特点:用编码方法可快速判断线段的完全可见和显然不可见。

缺点:本算法对于其它形状的窗口未 必同样有效。

2中点分割裁剪算法

可见点:落在窗口内的点

基本思想：找最近可见点

中点分割方法

从P0出发找距离P0最近可见点的中点分割方法

– 先求出P0P1的中点Pm

– 若P0Pm不是显然不可见的(说明P0P1在窗口 中有可见部分)，则距P0最近的可见点一 定落在P0Pm上，则用P0Pm代替P0P1;

– 否则取PmP1代替P0P1；

– 再对新的P0P1求中点Pm。重复上述过程， 直到PmP0长度小于给定的控制常数为止， 此时Pm收敛于交点，即为P0最近可见点。

从P1出发找距离P1最近可见点采用上面类似方法

中点分割裁剪算法—完整描述

从P0点出发找出离P0最近的可见点，和从P1点出发找出离P1最近的可见点。这两个可见 点的连线就是原线段的可见部分。

与Cohen-Sutherland算法一样:首先对线段端点进行编码，并把线段与窗口的关系分为 三种情况，对前两种情况(完全在内、显然不可见)，进行同样的处理。对于第三种情况，用中点分割的方法求出线段与窗口的交点:A和B,它们分别为距P0和P1最近的可见点，并保留之，其它段弃之。

3中点算法:梁友栋-barskey算法

算法步骤(核心思想)

5.3 多边形裁剪

Sutherland-Hodgman算法

存在的问题:对凸多边形，本算法可以得到 正确的结果;但对凹多边形，如图所示显示出一条多余的直线。 因为只有一个输出顶点表，所以表中最后一个顶点总是连着第一个顶点，在裁剪后的多边形有两个或多个分离部分出现。

解决这个问题有多种方法:

一是把凹多边形分割成若干个凸多边形，然后分别处理各个凸多边形。

二是修改本算法:沿着任何一个裁剪窗 口边检查顶点表，并实施正确的连接。

此外，还可用Weiler-Atherton算法。

6 真实感绘制-图形变换

6.1 变换的数学基础

齐次坐标：就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量 (P1,P2, … ,Pn)表示为(hP1,hP2,hPn,…,h)，其中h 称为哑坐标。

• 同一点的齐次坐标不是唯一的，因为h可以取 不同的值。
• 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
• 由:普通坐标xh→齐次坐标;由:齐次坐标÷h→普通坐标。
• 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”。

齐次坐标的作用

1 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。

2 便于表示无穷远点。

3 齐次坐标变换矩阵形式对直线、平面、多 边形、多面体变换具有图形拓扑关系保持不变的特性。

4 变换具有统一表示形式的优点 ：便于变换合成&便于硬件实现

6.2 图形的几何变换

相关概念

用户域

程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)

• 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。
• 人们所要描述的图形均在用户域中 定义。

窗口区

用户指定的任一区域(W )

• 窗口区W 小于或等于用户域WD
• 小于用户域的窗口区W 叫做用户域的子域
• 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形 窗口、多边形窗口等。
• 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再 定义第二层窗口，在第i层窗口中可再定义第i+1层窗口等。

屏幕域(DC)

设备输出图形的最大区域， 是有限的整数域。

视图区

任何小于或等于屏幕域的区域

• 视图区用设备坐标定义在屏幕域中
• 当窗口区显示在视图区时，需做窗口区到视图区的坐标转换
• 视图区可以有多种类型:圆形、矩形、 多边形等
• 视图区也可以嵌套

关系

用户域->屏幕域

窗口区->视图区

图形的几何变换

作用

把用户坐标系(用户域)与设备坐标系(屏幕域)联系起来

可由简单图形生成复杂图形

可用二维图形表示三维形体

可实现动态显示

图形变换

对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形

图形变换的两种形式

图形不变，坐标系改变

图形改变，坐标系不变

二维图形的显示流程图

6.3 三维投影变换

平行投影:投影中心到投影平面距离为无限

透视投影:投影中心到投影平面距离为有限

正、斜平行投影:按投影方向与 投影平面是否垂直进行分类

正三面投影:投影平面与 一个坐标轴垂直，或者说与一个坐标平面平行

正等侧投影:投影平面与三个坐 标轴成相等的夹角(或其法线与 每个坐标轴的夹角相等)，投影 后，三个轴的变形系数相等。

正二轴侧投影:投影平面与两个 坐标轴成固定夹角(或其法线与 两个坐标轴的夹角相等)，投影 后，两个轴的变形系数相等。

正三轴侧投影:投影平面与三个坐标轴之 间的夹角不相等(或其法线与每个坐标轴 的夹角都不相等)，投影后，每个轴的变 形系数都不相等。

斜二侧投影:投影平面的法线与两个坐标轴的夹角相等。

斜等侧投影:投影平面的法线与每个坐标轴的夹角相等。

灭点(消失点)/主灭点:视线(投影线) 从视点(观察点)出发，汇聚于一点称 为灭点。在坐标轴上的灭点称为主灭点。 主灭点就是投影平面相交于坐标轴的数量，以此为依据分为以上的三种。

单/一点透视:投影平面与坐标系的一个轴垂直

二点透视:投影平面与一个轴平行，与另两轴呈相同的固定角度

三点透视:投影平面与三 个轴均呈相同固定角度

6.4 三维观察变换

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