写在前面

最近需要用帝国竞争算法，百度出来基本千篇一律 Ctrl + C, Ctrl + V. 所以打算自己写一篇。
Reference:

1.帝国竞争算法的研究与改进
2.智能优化算法与涌现计算，在狗东可以免费试读
3.算法的可视化例子

帝国竞争算法

对于一个优化算法，cost function 是用来衡量优化效果的优劣。对于最小化问题，求一个函数的全局最优，cost funcition 越小越好。最大化问题反之。本文的优化目标函数Rastrigin的全局最小值。 Rastringin函数参考百度百科。

Step 1. 制定规则，初始化帝国

制定规则

假设有100个国家，每个国家有一个独特的编号，例如1号国家，2号国家…100号国家这样。每个国家有个cost function: c1,c2.....c100c_1, c_2 .....c_{100}c1,c2.....c100。100个国家中，有10个帝国，90个殖民地。

初始化帝国

1.1 让cost function 最小的10个国家作为帝国，其余国家作为这些帝国的殖民地。
1.2 计算帝国之间的相对势力.
Cn=cn−max{ci}C_n = c_n - max\{c_i\}Cn=cn−max{ci}
其中，CnC_nCn表示n号帝国的相对势力，cnc_ncn 是n号帝国的cost function， max{ci}max\{c_i\}max{ci}是所有帝国的cost function 最大值。注意C是大写还是小写
1.3 计算帝国的标准势力：
Pn=∣Cn∑Ci∣P_n = |\frac{C_n}{\sum{C_i}}|Pn=∣∑CiCn∣
1.4 根据每个帝国的标准势力，计算出每个帝国初始有多少个殖民地
N.C.n=roud{Pn∗Ncol}N.C.n = roud\{P_n * N_{col}\}N.C.n=roud{Pn∗Ncol}
其中，N.C.nN.C.nN.C.n是n号帝国拥有殖民地的个数。NcolN_{col}Ncol是殖民地的总数，制定规则中设置了一共有90个殖民地。
1.5 根据每个帝国的殖民地个数不同，随机分配N.C.nN.C.nN.C.n个殖民地给该帝国。

Step 2. 同化机制

对于求Rastrigin 函数全局最优问题，就是求一个二维坐标坐标下, x 和 y的值。

同化简单说就是殖民地向领主(帝国)靠近。同化完成过后，重新比对某个帝国的cost function 与其拥有的殖民地的 cost function，如果某个帝国的cost function 比被殖民的某个国家还大(最小化优化问题)，则两级反转，帝国变殖民地，殖民地变帝国。

2.1 殖民地的向帝国移动(靠近。移动的角度和距离如图18.2所示。移动的角度是θ∈U{−γ,γ}\theta \in U\{- \gamma, \gamma\}θ∈U{−γ,γ}. UUU表示均匀分布，γ\gammaγ是自定义的参数，通常设置为π/10\pi / 10π/10。图中ddd是殖民地坐标和帝国的距离，用初中学过的坐标公式算出。移动距离x∈U{0,β∗d}x \in U\{0, \beta * d\}x∈U{0,β∗d}, β\betaβ也是预设的参数，一般小于1。
2.2 重新确定谁是帝国。移动过后，判断是否殖民地cost function 比帝国还小，如果是的，交换两个国家的地位。

Step 3. 竞争机制

竞争靠的是实力。帝国算法竞争步骤需要计算一个帝国的综合势力：帝国自己的势力与全部殖民地的势力的总和。

竞争的对象就是最弱帝国的最弱殖民地。

3.1 计算帝国的总价值
T.Cn=f(impn)+ζ∗∑f(coli)N.CmT.C_n = f(imp_n)+ \zeta * \frac{\sum{f(col_i)}}{N.C_m}T.Cn=f(impn)+ζ∗N.Cm∑f(coli)

T.CnT.C_nT.Cn是一个帝国的全部总价值，f(impn)f(imp_n)f(impn)是一个帝国的cost function值。ζ\zetaζ是自定义参数，相对于殖民地势力的权重。f(coli)f(col_i)f(coli)是i号殖民地的cost function 值。

3.2 将最垃圾帝国的最垃圾殖民地拿出来供全部帝国竞争，这个垃圾殖民地称为猎物国。
3.3 各个帝国获得3.2 中的殖民地概率是
Pn=∣N.T.Cn∑N.T.Ci∣P_n = |\frac{N.T.C_n}{\sum{N.T.C_i}}|Pn=∣∑N.T.CiN.T.Cn∣
N.T.Cn=T.Cn−max{T.Ci}N.T.C_n = T.C_n - max\{T.C_i\}N.T.Cn=T.Cn−max{T.Ci}
所有帝国的对猎物国的占有率为P=[P1,P2......PNimp]P = [P_1, P_2......P_{Nimp}]P=[P1,P2......PNimp]，再构造一个与P同维的向量R,R=[r1,r2....rNimp]R=[r_1, r_2....r_{Nimp}]R=[r1,r2....rNimp], 其中，r∈U(0,1)r \in U(0,1)r∈U(0,1). 各个国家对猎物国的占有率为D=P−RD = P-RD=P−R，算出来D最大的帝国将会获得该猎物国。

Step 4. 帝国灭亡

当一个帝国没有了殖民地，这个帝国就会灭亡。

代码

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