数字图像处理(第三版，Rafeal C. Gonzalez, Richard E. Woods)--傅里叶变换(频率域滤波)
滤波器：抑制或最小化某些频率的波或振荡的装置或材料
频率：自变量单位变化期间，一个周期函数重复相同值序列的次数
--韦伯斯特新学院词典
- 傅里叶变换基础
傅里叶变换基础
具有周期T的周期函数 f ( t ) f(t) f(t)拆解成正余弦函数和，即傅里叶级数 f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e j 2 π n T t c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j 2 π n T t ， n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . f(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{j\frac{2\pi n}{T}t}\\c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}，n=0,\pm1,\pm2,... f(t)=n=−∞∑∞cnejT2πntcn=T1∫−2T2Tf(t)e−jT2πnt，n=0,±1,±2,...
(广义上的)单位冲击函数 δ ( t ) = { ∞ , t = 0 0 , t ! = 0 ， ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 \delta(t)=\begin{cases}\infty,&t=0\\0,&t != 0\end{cases}，\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1 δ(t)={∞,0,t=0t!=0，∫−∞∞δ(t)dt=1具有取样特性 ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0) ∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)离散冲击串可以用来采样： S Δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n Δ T ) S_{\Delta T}(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n\Delta T) SΔT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nΔT)举例窗函数： F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t = ∫ − W 2 W 2 A e − j ω t d t = A − j ω [ e − j ω t ] − W 2 W 2 = A j ω [ e j ω W 2 − e − j ω W 2 ] = 2 A ω s i n ( ω W 2 ) = A W s i n ( ω W 2 ) ω W 2 F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{-\frac{W}{2}}^{\frac{W}{2}}Ae^{-j\omega t}dt\\=\frac{A}{-j\omega}[e^{-j\omega t}]^{\frac{W}{2}}_{-\frac{W}{2}}=\frac{A}{j\omega}[e^{j\omega \frac{W}{2}}-e^{-j\omega \frac{W}{2}}]\\=\frac{2A}{\omega}sin(\frac{\omega W}{2})=AW\frac{sin(\frac{\omega W}{2})}{\frac{\omega W}{2}} F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt=∫−2W2WAe−jωtdt=−jωA[e−jωt]−2W2W=jωA[ejω2W−e−jω2W]=ω2Asin(2ωW)=AW2ωWsin(2ωW)
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