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题目链接：Problem - 1194F - Codeforces

题意：

你有 n 个题目 t 秒时间，每个题目需要消耗时间 ai 秒。

但你有0.5的概率消耗多 1 秒，问从 1 开始依次向后做，t 秒能做出题目数的期望值。

分析：

首先暴力的做法很容易想到:

f[u]=(f[u]+dp(u+1,T-a[u]-1)*inv)%MOD;

但很显然是会T的，想到了前几天的一道组合数的题Problem - E - Codeforces感觉可以借鉴一下，我们发现很难求出做了i道题的概率，但是至少做i道题的概率还是相对容易一些的，我们求一下前i道题用时的前缀和s[i]，显然可以有min(t-s[i],i)次+1秒的机会，令F(n,m)表示，实际上至少做出i道题的概率为,那么做出i道题的概率为ans[i]-ans[i+1],正要准备开写的时候突然发现时间复杂度为,还是会T。试着从F(n,m)着手，发现min(t-s[i],i)是个单峰函数，当t-s[i]<i时是单调递增的，t-s[i]>i时是单调递减的，此时便可以利用上一次的F(n,m)推出此处F(n+1,m),利用公式可优化一维复杂度。

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
#define endl '\n'
#define LL long long
#define ios ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=200010,MOD=1e9+7;
typedef pair<int,int> PII;
LL n,t,a[N],res,s[N],ans[N];
LL qpow(LL a,LL b){LL res=1;while(b>0){if(b&1)  res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;b>>=1;}return res;
}
LL f[N],invf[N],fact[N],inv[N];
void init(){  invf[0]=fact[0]=inv[1]=1;  for(int i=2;i<=N-10;i++){  inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i];  inv[i]=inv[i]%MOD;  }  for(int i=1;i<=N-10;i++){  fact[i]=(LL)fact[i-1]*i%MOD;  invf[i]=(LL)invf[i-1]*inv[i]%MOD;  }
}
LL C(LL a,LL b){  return fact[a]*invf[a-b]%MOD*invf[b]%MOD;
}
int main()
{ios;init();cin>>n>>t;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];s[i]=s[i-1]+a[i];}LL sum=1,cur=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(s[i]>t) break;LL m=min(t-s[i],(LL)i);sum=(sum+sum-C(i-1,cur))%MOD;while(cur<m){sum=(sum+C(i,cur+1))%MOD;++cur;}while(cur>m){sum=(sum-C(i,cur))%MOD;--cur;}ans[i]=sum*qpow(inv[2],i)%MOD;}for(int i=1;i<=n;i++){res=(res+(ans[i]-ans[i+1]+MOD)%MOD*i%MOD)%MOD;}cout<<res<<endl;
}

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