个人笔记：算法讲座3.2——魔法石（棋盘最优路径）

本文仅供学习参考使用，谢谢

问题描述：

霍格沃茨魔法学校的密室里有一个巨大的棋盘，棋盘有n * n个格子，Alice丢失了魔杖被伏地魔困在右下角的格子里，Bob站在最左上方的格子里，带着Alice的魔杖，他想尽快到达Alice那里。穿过一个格子必须花费m个时间单位，有的格子里放着一些魔法石，每个魔法石可以使时间倒流1个时间单位，格子里魔法石的数量不会超过m。而棋盘被施了"过河卒子"魔法，Bob每次只能向下或向右走，他最少要多久才能走到Alice那里最左上和最右下的格子不计算时间，也没有魔法石。

输入：

第一行n,m，第二行开始是一个n * n的矩阵，表示每个格子里魔法石的数量。

输出：

最短时间

思路分析:

如果要使bob花费的时间最短则必须选择能得到魔法石最多的那条路
即所花费的时间为(n-2+n-1)*m - 所得魔法石数量
如果要求哪条路上坐能得到的魔法石最多，子问题可以化为求从左上角到每一个有魔法石的的点中所能得到的魔法石最多的那条路
而每个有石头的点最多能得到的魔法石数目为行数上最接近该点且有魔法石的点r 和列数上最接近该点且有魔法石的点c，两者中魔法石较多的那个点所得到的魔法石数目加上当前点上的魔法石数目，即为这个点所能得到的最多的魔法石。如果没有从行数上或列数上距离该点最近的点那么该点所能得到的魔法石最多为他本身所拥有的魔法石数目
当所有的有魔法石的点最多能得到的魔法石都计算完毕之后，右下角所需要花费的时间可以带入第一点的公式中。其中所得魔法石的数目为所有能得到魔法石的点中得到的魔法石数目最大的那一个点所拥有的魔法石数目

算法描述:

1.每一个点为一个node类型的数据含有行列号和魔法石数目(权值)，建立一个node型的二维数组用来储存棋盘上的所有的点和一个stone_sum[]数组用来储存每个点最多所能得到的魔法石的数目
2.用双重for循环输入每一个点所拥有的魔法石数目，并记录含有魔法石的点

测试数据:

数据1:

8 10
0 0 7 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 5 0 0
0 3 0 0 0 0 0 2
0 0 0 4 0 0 6 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 8 0 0 0 3 0 0
0 0 9 0 2 0 0 3
0 0 0 4 0 0 0 0

测试结果:

105
//130-25=105

递推：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define maxsize 100typedef struct {int x;int y;int w;
}Node;int main(int argc, const char * argv[]) {int n=0,m=0,s=0;scanf("%d%d",&n,&m);Node chessboard[n][n];for (int i=0; i<n; i++)for (int j=0; j<n; j++) {scanf("%d",&s);chessboard[i][j].x=i;chessboard[i][j].y=j;chessboard[i][j].w=s;}for (int i=1; i<n; i++) {for (int j=1; j<n; j++) {chessboard[i][j].w+=chessboard[i-1][j].w>chessboard[i][j-1].w?chessboard[i-1][j].w:chessboard[i][j-1].w;}}//    for (int i=0; i<n; i++){//        for (int j=0; j<n; j++)
//            printf("%2d",chessboard[i][j].w);
//        printf("\n");
//    }printf("%d\n",(2*n-3)*m-chessboard[n-1][n-1].w);return 0;
}

递归：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define maxsize 100int chessboard[maxsize][maxsize];int b(int i, int j){if (i==0 && j==0) {return 0;} else if (i<0 || j<0) {return -1;} else {return b(i-1, j)>b(i, j-1)?b(i-1, j)+chessboard[i][j]:b(i, j-1)+chessboard[i][j];}
}int main(int argc, const char * argv[]) {int n=0,m=0,s=0;scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0; i<n; i++)for (int j=0; j<n; j++) {scanf("%d",&s);if (s!=0) {chessboard[i][j]=s;} else {chessboard[i][j]=0;}}chessboard[n-1][n-1]=b(n, n);printf("%d\n",(2*n-3)*m-chessboard[n-1][n-1]);return 0;
}