栈的应用（递归：例子裴波那契数列四则运算表达式求值：后缀（逆波兰））

递归：
-栈有一个很重要的应用：在程序设计语言中实现递归。

当你往镜子前面一站，镜子里面就有-一个你的像。但你试过两面镜子一起照吗?如果A、B两面镜子相互面对面放着,你往中间- -站，嘿,两面镜子里都有你的千百个“化身”。为什么会有这么奇妙的现象呢?原来，A镜子里有B镜子的像，B镜子里也有A镜子的像，这样反反复复，就会产生-连串的“像中像”。这是一种递归现象.

递归金典例子：
-裴波那契数列，为了说这个数列这为裴老还举了很形象的例子

裴波那契数列实现：
说如果兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，- -对兔子每个月能生出一对小兔子来。假设所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子呢?
我们拿新出生的一对小兔子分析一下:第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是- -对;两个月后，生下- -对小兔子数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

表中数字1，1，2，3，5，8，13.。。。。。构成了一个序列。这个数列有个十分明显的特点，那就是相邻两项之和，构成了后一项

可以发现编号1 的兔子经过6个月就变成8对兔子。如果我们用数学函数来定义就是：

常规的迭代代码：

   public static void main(String[] args) {int i ;int[] a = new int[40];a[0] = 0;a[1] = 1;System.out.println(a[0]);System.out.println(a[1]);for ( i = 2; i < 40 ; i++) {a[i] = a[i-1] + a[i-2] ;System.out.println(a[i]);}}

     //实现递归：

     public static void main(String[] args) {int i ;for ( i = 0; i < 40; i++) {System.out.println( new Test().Fbi(i));}}/*裴波那契数列的递归函数*/public int Fbi(int i) {if (i < 2) {return i == 0 ? 0 : 1 ;}return Fbi(i -1) + Fbi(i -2) ;}

     //相比较迭代 代码简单干净函数怎么可以自己调用调用自己？听起来有些难以理解，不过你可以不要一个递归函数中调用自己的函数看作是在调用自己，而就当它是在调另一个函数，只不过，这个函数和自己长的一样而已。

模拟代码执行Fbi(i) 函数当 i = 5 的执行过程：

简述递归的定义：

在高级语言中调用自己或通过一系列的调用语句间接的调用自己的函数，称为递归函数：

为了避免陷入无限的循环，每个递归定义必须至少满足有一个条件，满足时赌鬼不再进行，即不再引用自身而是返回值退出。

迭代和递归的区别：

迭代使用的是循环结构
递归使用的是选择结构。
递归能使程序的结构更清晰。更简洁、更让人容易理解，从而减少读懂代码的时间。但是大量的递归调用会建立函数的副本，会消耗大量的时间和内存。迭代则不需要反复调用函数和占用额外的内存。

前面我们已经看到递归是如何执行它的前行和退回阶段的。递归过程退回的顺序是它前行顺序的逆序。在退回过程中，可能要执行某些动作，包括恢复在前行过程中存储起来的某些数据。

  这种存储某些数据，并在后面又以存储的逆序恢复这些数据，以提供之后使用的需求，显然很符合栈这样的数据结构，因此，编译器使用栈实现递归就没什么好惊讶的了。简单的说，就是在前行阶段，对于每一-层递归， 函数的局部变量、参数值以及返回地址都被压入栈中。在退回阶段，位于栈顶的局部变量、参数值和返回地址被弹出，用于返回调用层次中执行代码的其余部分，也就是恢复了调用的状态。当然，对于现在的高级语言，这样的递归问题是不需要用户来管理这个栈的，一切都由系统代劳了。

总结：递归的执行过程和栈进栈和出栈顺序相同所以递归可以用栈来实现

四则运算表达式求值：

后缀（逆波兰）表示法定义
栈的实现应用也很多，我们在来重点讲一个比较常见的应用：数学表达式的求值。

想到了一种不需要括号的后缀表达式。称为逆波兰
例：

如果用后缀表达式为：

为了让机器去喜欢：

后缀的好处：
规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到符号就处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结构进栈，一直到最终获取结果。
–初始化一个空栈（用来对要运算的数字进行使用）

–后缀表达式中前三个是数字 9 3 1 进栈

–接下来是符号 “-” 减，所以将栈中的1出栈作为减数， 3 出栈作为被减数，并运算3 - 1 得到 2 再将2 进栈

–接着3进栈

–后面是符号 “ * ” ，也就意味着栈中 3 和 2 出战 2 和 3 相乘，得到 6
并将 6 进栈
–下面是符号 “ +” 所以栈中6 和 9 出栈， 9 与 6 相加得到 15 ，将 15 进栈

–接着是 10 与 2 数字进栈

–接下来是符号 “ /” 因此栈顶 2 与 10 出栈 10 与 2 相除得到 5 将 5进栈

–最后一个符号 “+” ，所以 15 与 5 出栈并相加，得到 20 将 20 进栈

–结果20出栈，栈变成空

问题1：

解决问题：

规则：从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，若数字就输出，即成为后缀表达式的一部分：若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级低与栈顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止；

–初始化空栈，用符号进栈使用

–第一个字符数字 9 后面是符号 “ +” ，进栈

–第三个字符是 “ （” ，依然是符号，因其只是左括号，还未配对，故进栈。

–第四个字符是数字3 ，输出，总表达式为 9 3 接着 “ -” 进栈

–接下来是数字1,输出，总表达式为9 3 1,后面是符号 “)”，此时，我们需要去匹配此前的 “("，所以栈顶依次出栈，并输出，直到“(” 出栈为止。此时左括号上方只有符号 “一” 减，因此输出符号 “一” 减。总的输出表达式为9 3 1一（减号）

接着是数字3,输出，总的表达式为931-3。紧接着是符号“X"，因为此时的栈顶符号为“+” 号，优先级低于“X”，因此不输出，“*” 进栈

-之后式符号“ +” 此时当前栈顶元素 “ ” 比这个 “ +” 的优先级高，因此栈中元素出栈并输出(没有比“+” 号更低的优先级，所以全部出栈)，总输出表达式为93 1-3 +。然后将当前这个符号“+” 进栈。也就是说，前6张图的栈底的“+”是指中缀表达式中开头的9后面那个“+”，而图中的栈底(也是栈顶)的“+”是指“9+ (3-1) X3+”中的最后一个“+”。

–紧接着数字10 输出

后式符号所以
进栈

–最后一个数字 2 输出总表达式为

–因此已经到最后，所以将栈中所有的符号全部出栈输出。最终输出的后缀表达式结构为

从刚才的推导中你会发现，要想让计算机具有处理我们通常的标准(中缀)表达式的能力，最重要的就是两步:

1.将中缀表达式转化为后缀表达式(栈用来进出运算的符号)。
2.将后缀表达式进行运算得出结果(栈用来进出运算的数字)。