NOIP中的数学--第6课 计数原理 （上）
【加法原理与乘法原理】
1.加法原理
完成一个工程可以有n类办法，ai代表第i类方法的数目。
那么完成这件事共有 S = a[1]+a[2]+…+a[n] 种不同的方法。
2.乘法原理
完成一个工程需要分n个步骤，ai 代表第i个步骤的不同方法数目。
那么完成这件事共有 S = a[1]a[2]…*a[n] 种不同的方法。
3.两个原理的区别
一个与分类有关 ， 一个与分步有关；
使用加法原理要注意事件A和事件B产生的方式不能重叠，即一种方式只能属于其中一个事件，而不能同时属于两个事件，即：分类要做到“不重不漏”
加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。
【练习】
由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（分别讨论各位上的数字允许重复和不允许重复的情况）？
由数字0、1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（讨论各个位上数字允许重复和不重复的情况）？
由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？
一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少种？900首位数字是0的密码数又是多少种？
如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
某班有22名女生，23名男生. 选一位学生代表班级去领奖，有几种不同选法？选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛，有几种不同的选法？
105有多少个约数？并将这些约数写出来.
从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间有几种选法？
若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x ，y)的不同个数有多少？
一个口袋内装有5个小球另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同，从两个口袋内任取一个小球，有几种不同的取法?从两个口袋内各取一个小球，有几种不同的取法.
乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开共有几个项。
有四位考生安排在5个考场参加考试.有几种不同的安排方法。
13.老奶奶家有20个鸡蛋，还养了一天能下一个蛋的老母鸡，如果她家一天吃两个鸡蛋，老奶奶家的鸡蛋可以连续吃多少天？
14、由2、5、0、7四个数字可以组成多少个不同的四位数？
15、书架上层有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
（1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少种取法？
16、利用数字1，2，3，4，5共可组成
（1）多少个数字不重复的三位数？
（2）多少个数字不重复的三位偶数
（3）多少个数字不重复的偶数？
答案：
1：乘法原理，重复：125， 不重复：60
2：先区分首位是否为0（加法原理），再分别用乘法原理。重复：180，不重复？
3：15
4：1000、100
5：6
６：45、506
7: 8。 约数的计算公式 s= (p1+1)(p2+1)…(pk+1) （pi为第i个质约数的幂）。
8：59， 这题是加法原理和乘法原理的结合。
９：25
10：9 、20
11：题解：60，展开的每一项必定含有一个a一个b一个c，那么我们可以认为我们挑一个a再挑一个b再挑一个c，所以结果是345=60。
12.625
13.19
解析
（1）20个鸡蛋，每天吃2个。20/2=10，在这10天里，母鸡又下了10个鸡蛋
（2）10个鸡蛋，每天吃2个。10/2=5，在这5天里，母鸡又下了5个鸡蛋
（3）5个鸡蛋，每天吃2个，5/2=1….1
……
总天数：10+5+2+1+1=19天
14、18种
解析：乘法原理：千位上有3种选法，百位上有3种选法，十位上有2种选法，各位上有1种选法：3×××2×1=18种
15、（1）11种
加法原理：
第一类办法是取数学书，有6种方法
第二类办法是取语文书，有5中方法
所以，总的取的方法有6+5=11。
（2）30种
乘法原理，分两步完成：
第一步取一本数学书，有6种方法
第二步取一本语文书，有5种方法。
所以总的方法是5×6=30种
16.（1）60
乘法原理：
百位有5种选择
十位有4种选择
个位有3种选择
5×4×3=60
（2）24种
先选个位数，共有两种选择：2或者4
在个位数选定后，十位数还有4种选择，百位数有3种选择，所以2×4×3=24（个数字不重复的三位偶数）
（3）130种
分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2、4
二位偶数，共有8个：12、32、42、52、14、24、24、54
三位偶数由上述（2）求得24个
四位偶数共有2×（4×3×2）=48个。括号外面的2表示个位数有2种选择（2或者4）
五位偶数共有2×（4×3×2×1）=48个
由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130种
【程序练习】
编码
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