嵌套函数在求解积分上限中的应用

例1如下述积分表达式，已知a、e和l，如何求得β0？

本例关于β的积分结果不能解析表达，需要数值积分来做，同时还要求一个非线性方程。代码如下：

function sol=example1(a,e,l)function f=fun1(beta)f=a.*(1-e.^2)./(1-e.^2*sin(beta).^2).^(3/2);endfunction g=fun2(beta0)g=quadl(@fun1,0,beta0)-l;end
sol=fzero(@fun2,3);
end

本例采用了两个嵌套函数，fun1和fun2,fun1的功能是建立积分表达式，fun2的功能是建立关于β0的非线性方程。由于a、e和l是已知的，因此，a、e和l作为整个函数example1的输入，实际应用中给定一组a、e和l作为整个函数example1的输入。给定a=20、e=0.6和l=6,可以求解相应的解如下：

ol=example1(20,0.6,6)sol =0.4519

嵌套函数在GUI中的应用

用Matlab生成一个三角形界面
要求

图上的数字根据行数和列数动态生成，每一层都比上面大1
在滚动条滚动的时候，会根据滚动条的位置，使三角形中的数字变红，最大值使数字全部变成红色，最小值使得数字全变成黑色
代码如下：

function triangle_table
fig=figure('defaultuicontrolunits','normalized','name','triangle_table',...'numbertitle','off','menubar','none');
ah=axes('Pos',[.1 .2 .75 .75],'Visible','off');
slider_h=uicontrol('style','slider','units','normalized','pos',...[0.1,0.05,0.75,0.05],'sliderstep',[1/6,0.05],'callback',@change_color);
hold on
for k=0:6plot(0:6-k,(6-k)*ones(1,(7-k)),'k');plot(k*ones(1,(7-k)),k:6,'k');
end
plot([0,6],[0,6],'k');
hold off;
for x=1:5for y=1:xtext(y-0.5,x+0.5,num2str(x),'color','k','tag','数字');end
end
for k=0:5text(k+0.1,k+0.5,[num2str(k),'.5'],'tag','数字');
end
%=====slider's callback function(nested function)============
function change_color(hObject,eventdata)v=round(6*get(slider_h,'value'));num_h=findobj('tag','数字');num_pos=get(num_h,'pos');red_num_logic=cellfun(@(x)(x(1)<=v&&x(2)<=v),num_pos);set(num_h(red_num_logic),'color','r');set(num_h(~red_num_logic),'color','k');
end
end

生成的示意图

本例生成界面的思路是用plot来画线，用text函数来填格子。每次移动滚动条后，得到当前滚动条的值。根据这个值来判断究竟把那些数字设成红色那些设成黑色。slider_h是滚动条的句柄，它的回调函数change_color用嵌套函数来实现，这样，slider_h对于嵌套函数来说是可见的，不采用额外的参数传递方式来传递到回调函数内部。

嵌套函数在3D作图中的一个应用

画出下列函数的图像

本例需要计算两个求和项，其中最外层要求一个无穷级数，分析表达式，可以得知，实际计算中，N不必取到无穷，只要取到30就可以达到较高的精度。代码如下

function [m,n,TT]=plot3dnmT(N,L)
%N:inf 的近似，L：[0,2]区间的剖分个数
C=zeros(N,1); %nested-function;Tmn=calcT(mm,nn)中用来储存计算结果
m=linspace(0,2,L);
[m,n]=meshgrid(m,m);
TT=zeros(size(n)); %和网格数据m,n对应的计算出来的T(m,n)网格数据
for ii=1:Lfor jj=1:LTT(ii,jj)=calcT(m(ii,jj),n(ii,jj));end
end
%================计算T(m,n)的nest-functionfunction Tmn=calcT(mm,nn)for N1=1:NC(N1)=(mm^N1/gamma(N1+1))*sum(nn.^(0:N1-1)./gamma(1:N1));Tmn=1.0-exp(-mm-nn)*sum(C);endend
mesh(n,m,TT)
end

得到如图

嵌套函数表示待优化的目标函数

求下面表达式的最小值
已知w=[π/2,π，3π/2];N=[π/2-1,-2,-3π/2-1]

其中，m在[0,2]范围内
代码如下：

function m=Findm
w=[pi/2,pi,pi*1.5];
N=[pi/2-1,-2,-1.5*pi-1];function y=ObjectFun(m)y=(quadl(@(t)t.^m.*cos(t),0,w(1))-N(1))^2+...(quadl(@(t)t.^m.*cos(t),0,w(2))-N(2))^2+...(quadl(@(t)t.^m.*cos(t),0,w(3))-N(3))^2;end
m=fminbnd(@ObjectFun,0,2);
end

上述代码中，目标函数即y用嵌套函数ObjectFun来表示。fminbnd第一个输入参数就是ObjectFun的句柄，第二第三个参数是求解最小值的范围。运行后得到结果如下：

>> format long
>> m=Findmm =1.000000256506471

嵌套函数在表示微分方程方面的应用

求下面的微分方程在[0,5]范围的解
y″+4y=3sin(at)
其中，a是参数，初始条件为：y(0)=1,y′(0)=0。
本例要想应用matlab的微分方程求解函数ode45求解，需要改变一下形式，即变成一阶微分方程式的形式：

其中y₁(t)对应于函数y(t)，而y₂=y′(t).
代码如下：

function example5(a)
tspan=[0,5]; %变量求解区间
y0=[1,0];    %初始值
[t,y]=ode45(@tfys,tspan,y0) %调用ode45求解方程
figure;
plot(t,y(:,1),'k-');        %画函数y(t)的曲线
hold on;
plot(t,y(:,2),'k:');        %画函数y(t)导数的曲线
set(gca,'fontsize',12);     %设置当前坐标轴字体大小
xlabel('\itt','fontsize',16); %标注x轴
ylabel('\ity','fontsize',16); %标注y轴
%用嵌套函数定义微分方程组function dy=tfys(t,y)dy(1,1)=y(2);        %对应于粒子中方程组的第一个方程dy(2,1)=3*sin(a*t)-4*y(1); %对应于例子中方程组第二个方程end
end

譬如，当a=6时，运行example5(6)得到如图

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