算法题目打卡：Ques20201024

问题1

描述

你的目标是让机器人走出迷宫。机器人面朝北，开始位置是在迷宫中间，你可以让机器人转向面朝东、南、西、北。你可以让机器人向前走一段距离，在撞墙之前它会停步。

a. 将问题形式化，状态空间有多大？

形式化如下：

状态：状态由机器人的位置和朝向所确定，当下一个位置只有4个朝向可选，可能的状态数为4，再下一次同样有4个朝向可选，选择朝向与前进的行动是连续的。

初识状态：机器人面朝北。

转移模型：面朝任何一个方向都可向前走，除非即将撞墙。

目标测试：测试当前位置是否走出迷宫。

路径消耗：总的耗散值为机器人移动的距离.

由于机器人在移动过程中，位置朝向并没有限制条件，而机器人的移动也非离散的，因此可能状态呈指数级增长，状态空间为无穷大。

b. 在迷宫中游走，在两条路或更多路交叉的路口可以转弯，重新形式化这个问题，现在状态空间有多大？

状态：状态受机器人的位置所确定，当所处的位置为交叉路口时，才可转弯至下一个状态，状态需要记录下交叉路口的位置以及个数。

初识状态：机器人在迷宫正中间面朝北。

转移模型：走到下一个交叉路口，除非即将撞墙。

目标测试：测试当前位置是否走出迷宫。

路径消耗：总的耗散值为移动距离.

机器人在移动过程中，状态空间受交叉路口个数影响（在其他时刻不改变朝向），当交叉路口为1时，可能状态为4,为2时可能状态为8，当交叉路口为n时状态空间为4n。

c. 从迷宫的任一点出发，我们可以朝四个方向中的任一方向前进直到可以转弯的地方，而且我们只需要这样做，重新对这个问题进行形式化，我们只需要记录机器人的方向吗？

状态：状态由机器人的位置和朝向所确定，当所处的位置为交叉路口时，下一个位置朝向有4个朝向可选，并且，还可转弯至下一个状态，状态需要记录下交叉路口的位置以及个数。

初识状态：机器人在迷宫正中间面朝北。

转移模型：面朝任何一个方向都可向前走，除非即将撞墙。

目标测试：测试当前位置是否走出迷宫。

路径消耗：总的耗散值为移动距离.

不需要记录方向信息，只需要记录交叉路口位置，因为在交叉路口才会有新的状态，与方向信息无关。

d. 在我们最初对问题的最初描述中已经对现实世界进行了抽象，限制了机器人的行动并移除了细节，列出三个我们做的简化。

简化1：机器人的移动速度

简化2：机器人以何种方式作为驱动力

简化3：机器人传感器种类，摄像头或红外测距

问题2

传教士和野人问题，三个传教士和三个野人在河的一岸，有一条能载一个人或者两个人的船。请设法使所有人都渡到河的另一岸，要求在任何地方野人数都不能多于传教士的人数。这个问题在AI中很有名，是因为它是第一个从分析的观点探讨问题形式化的论文主题。

a. 请对该问题进行详细形式化，只描述确保该问题求解所必需的特性。画出完整的状态空间图。

问题解决参考自：https://www.jianshu.com/p/0af3a6bb1e43

一些前提：从左岸到右岸是有往返的，其中传教士和野人均可以开船，状态在转化过程中不能出现循环，即舍弃掉会恢复上一步的状态。问题形式化如下：

状态：用一个三元组(m，c，b)来表示河岸上的状态，其中m、c分别代表某一岸上传教士与野人的数目，b用来表示船是从左岸到对岸还是返程（b=1表示船在这一岸，b=0则表示船不在）。约束条件是:两岸上船上

≤2，为船上的传教士和野人数量。

初识状态：三元组初态为（3,3,1），即左岸野人和传教士都为3。

转移模型：船从左岸开到右岸，b从0-->1,再从1-->0。只要不满足限制条件，则进入下一个状态。

目标测试：是否达到终态（0,0,0）。

路径消耗：走的路径长度.

状态空间图：

b.应用合适的搜索算法求出该问题的最优解。对于这个问题检查重复状态是个好主意吗？

利用深度优先搜索算法求解该问题，代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<string>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
using namespace std;
int N;
set<string>ans;
void print(vector<int>way) {int i = 0;string h;for (i = 1; i < way.size(); i++) {if (way[i] < 100) {h += "0";}h += to_string(way[i]);h += " ";}ans.insert(h);
}
void dfs(int pre, int ni, int nj, int b, set<int>s, vector<int>way) {int now = ni * 100 + nj * 10 + b;// s.insert(pre);if (s.count(now) || (N - ni) < 0 || (N - nj) < 0 || ni < 0 || nj < 0 || (ni < nj && ni != 0) || ((N - ni) < (N - nj) && (N - ni) != 0)) {// 限制条件，若传教士和野人数都小于0，或者剩下的传教士比野人少都直接returnreturn;}if (pre == 0) {// 如果上一轮就截止了，pre == 0 代表已到终点状态print(way);return;}way.push_back(pre);if (b == 1) { // 需前往对岸// 传教士+野人=1dfs(now, ni - 1, nj, 0, s, way);dfs(now, ni, nj - 1, 0, s, way);// 传教士+野人=2dfs(now, ni - 2, nj, 0, s, way);dfs(now, ni, nj - 2, 0, s, way);dfs(now, ni - 1, nj - 1, 0, s, way);}else {// 传教士+野人=1dfs(now, ni + 1, nj, 1, s, way);dfs(now, ni, nj + 1, 1, s, way);// 传教士+野人=2dfs(now, ni + 2, nj, 1, s, way);dfs(now, ni, nj + 2, 1, s, way);dfs(now, ni + 1, nj + 1, 1, s, way);}
}
//Ques20201024
int main() {int b = 1;// 初始化b的值int m, c;int pre = -1;set<int>s;chooseN = 3;N = c = m = 3;vector<int>way;dfs(pre, m, c, b, s, way);for (auto it = ans.begin(); it != ans.end(); it++) {cout << *it << endl;}
}

运行效果

求解得到的最优路径共4条，如上图解空间中所示。

c. 这个问题的状态空间很简单，你认为是什么导致人们求解它很困难？

在求解过程中可能运过去两个人，然后又把同样的两个人运回来了(或者使用别的形式但是依旧是循环，即没有起到作用)，所以要去除这种重复，这是问题的难解决的地方。最好方法是使用带有记忆的状态，如果之前遇到过这种状态就直接return，返回上一状态。