泛函分析笔记7：弱收敛与弱星收敛

一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。

文章目录

1. 序列收敛性
2. 线性泛函收敛性
3. 一般有界线性算子收敛性
4. 应用举例

1. 序列收敛性

(X,∥⋅∥)(X,\Vert\cdot\Vert)(X,∥⋅∥)，有 xn,x∈Xx_n,x\in Xxn,x∈X，称 xnx_nxn 强收敛到 xxx，若 ∥xn−x∥→0\Vert x_n-x\Vert \to 0∥xn−x∥→0；称 xnx_nxn 弱收敛到 xxx 若 ∀f∈X′\forall f\in X'∀f∈X′ 都有 f(xn)→f(x)f(x_n)\to f(x)f(xn)→f(x)，记为 xn⟶wx.x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x.xn⟶wx.

关于弱收敛有以下几条性质：

若 xn⟶wx,xn⟶wyx_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x, x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} yxn⟶wx,xn⟶wy，则 x=yx=yx=y；
若 xn⟶wxx_n \stackrel{w}{\longrightarrow} xxn⟶wx，则存在 c≥0,∥xn∥≤c.c\ge0, \Vert x_n\Vert \le c.c≥0,∥xn∥≤c.

证明：仅证第二条。这个性质说明 xnx_nxn 有界，因此容易想到需要用一致有界性原理证明，但是该原理说明的是算子的一致有界，这里是元素 xnx_nxn 有界，因此又可以想到上一篇讲到的典范映射 J:X→X′′J:X\to X''J:X→X′′ 从元素映射到算子。因此这里考虑 X′X'X′ 上的线性泛函 gn=J(xn):X′→Rg_n= J(x_n):X'\to \mathbb{R}gn=J(xn):X′→R，有 gn(f)=f(xn),∀f∈X′.g_n(f)=f(x_n),\forall f\in X'.gn(f)=f(xn),∀f∈X′. 于是有 f(xn)→f(x)f(x_n)\to f(x)f(xn)→f(x)，因而固定任一 fff，都有 sup⁡ngn(f)<∞\sup_n g_n(f) < \inftysupngn(f)<∞，同时由于 X′X'X′ 总为 Banach 空间，利用一致有界性原理有 sup⁡n∥gn∥=sup⁡n∥xn∥<∞\sup_n \Vert g_n\Vert =\sup_n \Vert x_n\Vert < \inftysupn∥gn∥=supn∥xn∥<∞。证毕。

定理：(X,∥⋅∥)(X,\Vert\cdot\Vert)(X,∥⋅∥)，有 xn,x∈Xx_n,x\in Xxn,x∈X，则 xn⟶wxx_n \stackrel{w}{\longrightarrow} xxn⟶wx 当且仅当：

存在 c≥0,∥xn∥≤cc\ge0,\Vert x_n\Vert\le cc≥0,∥xn∥≤c；

并且存在 M⊂X′,spanM‾=X′M\subset X',\overline{\text{span}M}=X'M⊂X′,spanM=X′，对 ∀f∈M,f(xn)→f(x).\forall f\in M, f(x_n)\to f(x).∀f∈M,f(xn)→f(x).（此时 MMM 称为完全集）

NOTE：该定理简化了弱收敛的判断条件，只需要在 X′X'X′ 的一个子集上判断函数值是否收敛。

证明："⟹""\Longrightarrow""⟹" 易证；

"⟸""\Longleftarrow""⟸"，首先考虑 ∀f∈spanM\forall f\in \text{span}M∀f∈spanM，容易得到 f(xn)→f(x)f(x_n)\to f(x)f(xn)→f(x)。然后对 ∀g∈X′\forall g\in X'∀g∈X′，那么存在 fm∈spanMf_m\in\text{span}Mfm∈spanM 使得 ∥fm−g∥≤1/m\Vert f_m-g\Vert \le 1/m∥fm−g∥≤1/m，因此
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ |g(x_n)-g(x)|&…
证毕。

例子 1：考虑 X=ℓp(1<p<∞)X=\ell^p(1<p<\infty)X=ℓp(1<p<∞)，有 (ℓp)′=ℓq,1/p+1/q=1.(\ell^p)'=\ell^q, 1/p+1/q=1.(ℓp)′=ℓq,1/p+1/q=1. 考虑线性泛函 fy(x)=∑iyixi,y∈ℓqf_y(x)=\sum_i y_ix_i,y\in \ell^qfy(x)=∑iyixi,y∈ℓq，有 ∥fy∥=∥y∥q\Vert f_y\Vert=\Vert y\Vert_q∥fy∥=∥y∥q。我们考虑 X′X'X′ 的子空间 M={en,n≥1}M=\{e_n,n\ge1\}M={en,n≥1}，其中 en=(...,0,1,0,...)e_n=(...,0,1,0,...)en=(...,0,1,0,...) 表示只有第 nnn 个分量为 1，其余为 0。那么 spanM‾=X′\overline{\text{span}M}=X'spanM=X′，因此要想验证 xnx_nxn 是否弱收敛到 xxx 就只需要验证：1）其有界性；2）对每个 fek,k≥1f_{e_k},k\ge1fek,k≥1 是否有 fek(xn)→fek(x)(n→∞).f_{e_k}(x_n)\to f_{e_k}(x)(n\to\infty).fek(xn)→fek(x)(n→∞).

强收敛与弱收敛之间有如下关系：

xn→x⟹xn⟶wxx_n\to x \Longrightarrow x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} xxn→x⟹xn⟶wx(即强收敛可以导出弱收敛)；
若 dimX<∞\text{dim}X<\inftydimX<∞，则 xn⟶wx⟹xn→xx_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\Longrightarrow x_n\to xxn⟶wx⟹xn→x(有限维赋范空间中，强收敛与弱收敛等价)；

证明：仅证第二条。设 dimX=n<∞\text{dim}X=n<\inftydimX=n<∞，有限维赋范空间中我们可以找到一组基，xk=λk,1e1+⋯+λk,nenx_k=\lambda_{k,1}e_1+\cdots+\lambda_{k,n}e_nxk=λk,1e1+⋯+λk,nen，x=λ1e1+⋯+λnenx=\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_nx=λ1e1+⋯+λnen。那么
λk,1f(e1)+⋯+λk,nf(en)→λ1f(e1)+⋯+λnf(en),∀f∈X′\lambda_{k,1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{k,n}f(e_n) \to \lambda_{1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{n}f(e_n), \quad\forall f\in X' λk,1f(e1)+⋯+λk,nf(en)→λ1f(e1)+⋯+λnf(en),∀f∈X′
由于 f∈X′f\in X'f∈X′ 任取，那么我们可以取 fi(y)=μif_i(y)=\mu_ifi(y)=μi，其中 y=μ1e1+⋯+μneny=\mu_1 e_1+\cdots+\mu_n e_ny=μ1e1+⋯+μnen，即 fif_ifi 取出来第 iii 个坐标系数。由此可以得到 λk,i→λi(k→∞)\lambda_{k,i}\to\lambda_i(k\to\infty)λk,i→λi(k→∞)，然后就容易得到 xn→x.x_n\to x.xn→x. 证毕。

例子 2：有些无穷维空间中也可以得到 xn⟶wx⟺xn→xx_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\iff x_n\to xxn⟶wx⟺xn→x，例如 ℓ1.\ell^1.ℓ1.

例子 3：无穷维 Hilbert 空间（ℓ2\ell^2ℓ2，注意只有 2−2-2−范数才能定义出对应的内积），考虑 {e1,e2,…}\{e_1,e_2,\ldots\}{e1,e2,…} 为 HHH 的标准正交集，那么有 en⟶w0e_n \stackrel{w}{\longrightarrow} 0en⟶w0 但是 en↛0e_n \nrightarrow 0en↛0。考虑 ∀f∈H′\forall f\in H'∀f∈H′，存在唯一的 z0∈H,f(x)=⟨x,z0⟩z_0\in H, f(x)=\langle x,z_0\ranglez0∈H,f(x)=⟨x,z0⟩，由Bessel方程 ∑n∣⟨en,z0⟩∣2≤∥z0∥2\sum_n|\langle e_n,z_0\rangle|^2\le \Vert z_0\Vert^2∑n∣⟨en,z0⟩∣2≤∥z0∥2，因此 f(en)→0(n→∞),∀f∈H′f(e_n)\to 0(n\to \infty),\forall f\in H'f(en)→0(n→∞),∀f∈H′，但另一方面 ∥en∥=1↛0\Vert e_n\Vert=1\nrightarrow0∥en∥=1↛0。

2. 线性泛函收敛性

对于算子的收敛性，如线性泛函 fn∈X′f_n\in X'fn∈X′ 或者有界线性算子 T∈B(X,Y)T\in B(X,Y)T∈B(X,Y)，收敛性的定义跟上面序列的收敛性是相似的，但是又略有不同。下面就先给出线性泛函收敛性的分析。

同样考虑赋范空间 XXX，f,fn∈X′f,f_n\in X'f,fn∈X′，称 fnf_nfn 弱星收敛到 fff，若任取 x∈Xx\in Xx∈X 都有 fn(x)→f(x)f_n(x)\to f(x)fn(x)→f(x)，记为 fn⟶w⋆f.f_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} f.fn⟶w⋆f.

NOTE：实际上这里的弱星收敛跟序列的弱收敛是完全对称的，因此他们的性质也是类似的。

弱星收敛极限 fff 唯一；
{fn}\{f_n\}{fn} 的任意子列均弱星收敛到 fff；
若 XXX 为 Banach 空间，则 {fn}\{f_n\}{fn} 在 X′X'X′ 中为有界集。

证明：仅证第三条，对于任意 x∈Xx\in Xx∈X，有 fn(x)→f(x)f_n(x)\to f(x)fn(x)→f(x)，因此 fn(x)f_n(x)fn(x) 有界，由一致有界性原理，sup⁡n∥fn∥<∞.\sup_n \Vert f_n\Vert<\infty.supn∥fn∥<∞. 证毕。

定理：XXX 为 Banach 空间，fn,f∈X′f_n,f\in X'fn,f∈X′，则 fn⟶w⋆ff_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} ffn⟶w⋆f 当且仅当：

存在 c≥0,∥fn∥≤cc\ge0,\Vert f_n\Vert\le cc≥0,∥fn∥≤c；

并且存在 M⊂X,spanM‾=XM\subset X,\overline{\text{span}M}=XM⊂X,spanM=X，对 ∀x∈M,fn(x)→f(x).\forall x\in M, f_n(x)\to f(x).∀x∈M,fn(x)→f(x).

NOTE：该性质与序列弱收敛的性质完全对称，证明省略。

NOTE：对于 X′X'X′ 中的线性算子 fff，也有范数的定义，因此我们也可以按照序列的收敛性来定义算子的收敛性。这个时候就用 X′X'X′ 代替上面的 XXX，用 X′′X''X′′ 代替上面的 X′X'X′。我们可以得到什么样的强收敛和弱收敛定义呢？（下面并不是标准的数学定义，只是我为了引出之后的内容做的解释）

对于 f,fn∈X′f,f_n\in X'f,fn∈X′，若满足 ∥fn−f∥→0\Vert f_n-f\Vert\to 0∥fn−f∥→0，则称 fnf_nfn 一致收敛到 fff；若对 ∀g∈X′′\forall g\in X''∀g∈X′′，都有 g(fn)→g(f)g(f_n)\to g(f)g(fn)→g(f)，那么称 fnf_nfn 强收敛到 fff；弱收敛的定义暂且不管。

注意从这个定义的字面意思来看，这里的一致收敛对应于上面序列的强收敛；这里的强收敛对应上面序列的弱收敛，它实际上也就对应于弱星收敛。这里就有两个值得思考的问题：1）**一致收敛和强收敛的区别是什么？**2）这里的强收敛为什么对应上面的弱收敛？

先看第2个问题：讲 Hahn-Banach 定理应用的时候我们讲到了典范映射，如果 XXX 为自反的，那么任意一个 g0∈X′′g_0\in X''g0∈X′′ 都唯一的对应于 XXX 中的元素 x0x_0x0，并且满足 g0(f)=f(x0),∀f∈X′g_0(f)=f(x_0),\forall f\in X'g0(f)=f(x0),∀f∈X′。假设 XXX 是自反的，那么上面的强收敛定义就可以表述为 ∀x∈X\forall x\in X∀x∈X，都有 fn(x)→f(x)f_n(x)\to f(x)fn(x)→f(x)，注意看！这是不是就是线性泛函弱星收敛的定义！也对应了序列的弱收敛。不过弱星收敛的定义里面并没有要求 XXX 是自反的。

那么再看第1个问题：一致收敛中要求 ∥fn−f∥→0\Vert f_n-f\Vert\to0∥fn−f∥→0，线性算子的范数是针对整个源空间考虑的；而强收敛中对每个 x∈Xx\in Xx∈X，关注 fn(x)→f(x)f_n(x)\to f(x)fn(x)→f(x)，也就是说关注的是每一个局部点。因此一致收敛要强于强收敛。

3. 一般有界线性算子收敛性

实际上一致收敛、强收敛、弱收敛的概念可以扩展到任意的有界线性算子定义。

设 X,YX,YX,Y 为赋范空间，Tn∈B(X,Y),T:X→YT_n\in B(X,Y),T:X\to YTn∈B(X,Y),T:X→Y 为线性算子，有三种收敛性：

{Tn}\{T_n\}{Tn} 一致收敛到 TTT，若 ∥Tn−T∥→0\Vert T_n-T\Vert \to 0∥Tn−T∥→0；
{Tn}\{T_n\}{Tn} 强收敛到 TTT，若 ∀x∈X,Tnx→Tx\forall x\in X,T_n x\to Tx∀x∈X,Tnx→Tx；
{Tn}\{T_n\}{Tn} 弱收敛到 TTT，若任取 x∈X,f∈Y′x\in X, f\in Y'x∈X,f∈Y′，f(Tnx)→f(Tx)f(T_nx)\to f(Tx)f(Tnx)→f(Tx)。

容易看出来一致收敛 ⟹\Longrightarrow⟹ 强收敛 ⟹\Longrightarrow⟹ 弱收敛，但是反向则不成立，可以举出对应的反例。

例子 4(强收敛 ⇏\nRightarrow⇏ 一致收敛)：X=Y=ℓ2X=Y=\ell^2X=Y=ℓ2，Tn:ℓ2→ℓ2T_n:\ell^2\to\ell^2Tn:ℓ2→ℓ2 有
Tn:(x1,x2,⋯)↦(0,⋯,0,xn+1,xn+2,⋯)T_n: (x_1,x_2,\cdots) \mapsto (0,\cdots,0,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) Tn:(x1,x2,⋯)↦(0,⋯,0,xn+1,xn+2,⋯)
容易验证 TnT_nTn 为有界线性算子，∥Tn∥=1\Vert T_n\Vert=1∥Tn∥=1。可以验证 TnT_nTn 强收敛到 000 算子，即 T0x≡0T_0x\equiv 0T0x≡0。但是 ∥Tn−T0∥=1↛0\Vert T_n-T_0\Vert=1\nrightarrow 0∥Tn−T0∥=1↛0，即不满足一致收敛。

例子 5(弱收敛 ⇏\nRightarrow⇏ 强收敛)：X=Y=ℓ2X=Y=\ell^2X=Y=ℓ2，Tn:ℓ2→ℓ2T_n:\ell^2\to\ell^2Tn:ℓ2→ℓ2 有
Tn:(x1,x2,⋯)↦(01,⋯,0n,x1,x2,⋯)T_n:(x_1,x_2,\cdots)\mapsto(0_1,\cdots,0_n,x_1,x_2,\cdots) Tn:(x1,x2,⋯)↦(01,⋯,0n,x1,x2,⋯)
可以验证 TnT_nTn 为有界线性算子，并且 ∥Tn∥=1\Vert T_n\Vert=1∥Tn∥=1。是否有 TnT_nTn 弱收敛到某个 TTT 呢？考虑任意 f∈(ℓ2)′f\in(\ell^2)'f∈(ℓ2)′，都存在唯一的 z∈ℓ2z\in\ell^2z∈ℓ2，f(x)=⟨x,z⟩f(x)=\langle x,z\ranglef(x)=⟨x,z⟩，所以 f(Tnx)=x1zn+1‾+x2zn+2‾+⋯f(T_nx)=x_1\overline{z_{n+1}}+x_2\overline{z_{n+2}}+\cdotsf(Tnx)=x1zn+1+x2zn+2+⋯，因此
∣f(Tnx)∣≤∑k=1∞∣xk∣⋅∣zn+k∣≤∥x∥(∑k=n+1∞∣zk∣2)1/2→0|f(T_nx)|\le\sum_{k=1}^\infty |x_k|\cdot|z_{n+k}| \le \Vert x\Vert\left(\sum_{k=n+1}^\infty |z_k|^2\right)^{1/2} \to 0 ∣f(Tnx)∣≤k=1∑∞∣xk∣⋅∣zn+k∣≤∥x∥(k=n+1∑∞∣zk∣2)1/2→0
所以有 f(Tnx)→0f(T_nx) \to 0f(Tnx)→0 对任意 f∈(ℓ2)′f\in (\ell^2)'f∈(ℓ2)′ 成立，因此 f(Tnx)→f(T0x)≡f(0)=0f(T_nx)\to f(T_0x)\equiv f(0)=0f(Tnx)→f(T0x)≡f(0)=0。所以 TnT_nTn 弱收敛到 T0=0T_0=0T0=0 算子，但是总有 ∥Tnx∥=∥x∥↛0\Vert T_nx\Vert=\Vert x\Vert\nrightarrow 0∥Tnx∥=∥x∥↛0，因此 Tnx↛T0xT_nx\nrightarrow T_0xTnx↛T0x，即不满足强收敛。

命题：对于一般有界线性算子，若 TnT_nTn 一致收敛到 TTT，则 TTT 也是有界的，这是因为 ∥T∥≤∥T−Tn∥+∥Tn∥≤∞\Vert T\Vert\le \Vert T-T_n\Vert+\Vert T_n\Vert \le \infty∥T∥≤∥T−Tn∥+∥Tn∥≤∞；若只能得到 TnT_nTn 强收敛到 TTT，那么 TTT 不一定是有界的。

例子 6(强收敛极限未必有界)：X=Y={(xn),∃N,∀n≥N,xn=0}X=Y=\{(x_n),\exists N,\forall n\ge N, x_n=0 \}X=Y={(xn),∃N,∀n≥N,xn=0}，考虑 Tn:X→YT_n:X\to YTn:X→Y 有
Tn:(x1,x2,⋯)↦(x1,2x2,⋯,nxn,xn+1,xn+2,⋯)T:(x1,x2,⋯)↦(x1,2x2,⋯)\begin{aligned} T_n:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots,nx_n,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) \\ T:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots) \end{aligned} Tn:T:(x1,x2,⋯)↦(x1,2x2,⋯,nxn,xn+1,xn+2,⋯)(x1,x2,⋯)↦(x1,2x2,⋯)
那么 ∥Tn∥=n\Vert T_n\Vert=n∥Tn∥=n，取可以验证对于 ∀x∈X\forall x\in X∀x∈X，Tnx→TxT_nx\to TxTnx→Tx，即 TnT_nTn 强收敛到 TTT，但是 TTT 不是有界算子。

那么什么情况下可以保证强/弱收敛极限也是有界算子呢？

定理：设 XXX 为 Banach 空间，YYY 为赋范空间，Tn∈B(X,Y),T:X→YT_n\in B(X,Y),T:X\to YTn∈B(X,Y),T:X→Y 为线性算子。设 TnT_nTn 弱收敛到 TTT，则 sup⁡n≥1∥Tn∥<∞,T∈B(X,Y)\sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert < \infty, T\in B(X,Y)supn≥1∥Tn∥<∞,T∈B(X,Y) 并且 ∥T∥≤sup⁡n≥1∥Tn∥<∞.\Vert T\Vert \le \sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert <\infty.∥T∥≤supn≥1∥Tn∥<∞.

证明：由于 TnT_nTn 弱收敛到 TTT，即 ∀x∈X,f∈Y′\forall x\in X,f\in Y'∀x∈X,f∈Y′ 都有 f(Tnx)→f(Tx)f(T_nx)\to f(Tx)f(Tnx)→f(Tx)，因此有 Tnx⟶wTxT_nx \stackrel{w}{\longrightarrow} TxTnx⟶wTx。那么根据序列弱收敛的性质，存在 cxc_xcx 满足 sup⁡n∥Tnx∥≤cx\sup_n \Vert T_nx\Vert \le c_xsupn∥Tnx∥≤cx，再由一致有界性原理，有 sup⁡n∥Tn∥<∞\sup_n \Vert T_n\Vert < \inftysupn∥Tn∥<∞。

然后考虑 TTT，∀x∈X\forall x\in X∀x∈X，由 Hahn-Banach 定理的推论，都存在 f∈Y′,∥f∥=1f\in Y',\Vert f\Vert=1f∈Y′,∥f∥=1 满足
∥Tx∥=∣f(Tx)∣=lim⁡n→∞∣f(Tnx)∣≤lim⁡n→∞∥Tnx∥\Vert Tx\Vert=|f(Tx)| = \lim_{n\to\infty} |f(T_nx)| \le \lim_{n\to\infty}\Vert T_nx\Vert ∥Tx∥=∣f(Tx)∣=n→∞lim∣f(Tnx)∣≤n→∞lim∥Tnx∥
因此 ∥T∥≤sup⁡n∥Tn∥.\Vert T\Vert\le \sup_n\Vert T_n\Vert.∥T∥≤supn∥Tn∥. 证毕。

定理：设 XXX 为 Banach 空间，YYY 为赋范空间，Tn,T∈B(X,Y)T_n,T\in B(X,Y)Tn,T∈B(X,Y)，则 TnT_nTn 强收敛到 TTT 当且仅当：

sup⁡n∥Tn∥<∞\sup_n \Vert T_n\Vert < \inftysupn∥Tn∥<∞；

存在 M⊂X,spanM‾=XM\subset X,\overline{\text{span}M}=XM⊂X,spanM=X，对 ∀x∈M,Tn(x)→T(x).\forall x\in M, T_n(x)\to T(x).∀x∈M,Tn(x)→T(x).

NOTE：这跟线性泛函弱星收敛的等价条件是完全一样的，证明省略。

4. 应用举例

例子 7(求积分的数值方法)：考虑实值函数 x∈C[a,b]x\in C[a,b]x∈C[a,b]，并赋予无穷范数，那么 (C[a,b],∥⋅∥)(C[a,b],\Vert\cdot\Vert)(C[a,b],∥⋅∥) 为 Banach 空间，求 ∫abx(t)dt.\int_a^b x(t)dt.∫abx(t)dt.

既然是在本节举的这个例子，那就要用到算子收敛性。先定义有界线性算子 f(x)=∫abx(t)dtf(x)=\int_a^b x(t)dtf(x)=∫abx(t)dt，∥f∥=b−a\Vert f\Vert=b-a∥f∥=b−a。我们现在的目标就是找一列有界线性泛函 fnf_nfn 弱收敛到 fff。回忆我们在学微积分的时候，往往是用分段的矩形面积求和来逼近积分。在 [a,b][a,b][a,b] 上取 n+1n+1n+1 个结点 a=tn,0<tn,1<⋯<tn,n=ba=t_{n,0}<t_{n,1}<\cdots<t_{n,n}=ba=tn,0<tn,1<⋯<tn,n=b，再取 n+1n+1n+1 个实数 an,0,⋯,an,na_{n,0},\cdots,a_{n,n}an,0,⋯,an,n，令
fn(x)=∑k=0nan,kx(tn,k)f_n(x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k} x(t_{n,k}) fn(x)=k=0∑nan,kx(tn,k)
fnf_nfn 是 C[a,b]C[a,b]C[a,b] 上的线性泛函，并且 ∥fn∥≤∑k=0n∣an,k∣\Vert f_n\Vert \le \sum_{k=0}^n|a_{n,k}|∥fn∥≤∑k=0n∣an,k∣，另外我们总能够造出一个 x∈C[a,b]x\in C[a,b]x∈C[a,b] 满足 x(tn,k)=sgn(an,k)x(t_{n,k})=\text{sgn}(a_{n,k})x(tn,k)=sgn(an,k) 并且 ∥x∥∞=1\Vert x\Vert_\infty=1∥x∥∞=1，此时就有 f(x)=∑k=0n∣an,k∣f(x)=\sum_{k=0}^n|a_{n,k}|f(x)=∑k=0n∣an,k∣，于是可以得到 ∥fn∥=∑k=0n∣an,k∣\Vert f_n\Vert = \sum_{k=0}^n|a_{n,k}|∥fn∥=∑k=0n∣an,k∣。现在的问题就是我们能否找到合适的系数 an,ka_{n,k}an,k 使得 fn⟶wff_n\stackrel{w}{\longrightarrow} ffn⟶wf ？

这里我们提出一个额外的要求，就是对于次数小于 nnn 的多项式 ppp，需要 fn(p)f_n(p)fn(p) 能获得精确积分结果，即 fn(p)=∫abp(t)dtf_n(p)=\int_a^b p(t)dtfn(p)=∫abp(t)dt。由于 {1,t,…,tn}\{1,t,\ldots,t^n\}{1,t,…,tn} 构成次数小于 nnn 的多项式空间的 Hamel 基，所以只需要验证对每个基有 fn(ek)=f(ek)f_n(e_k)= f(e_k)fn(ek)=f(ek) 即可。这就要求
{an,0+an,1+⋯+an,n=b−aan,0tn,0+an,1tn,1+⋯+an,ntn,n=b2−a22…an,0tn,0n+an,1tn,1n+⋯+an,ntn,nn=bn+1−an+1n+1\begin{cases} \begin{matrix} a_{n,0} & + & a_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n} & = & b-a \\ a_{n,0}t_{n,0} & + & a_{n,1}t_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n} & = & \frac{b^2-a^2}{2} \\ & & & & \ldots & \\ a_{n,0}t_{n,0}^n & + & a_{n,1}t_{n,1}^n & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n}^n & = & \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1} \end{matrix} \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧an,0an,0tn,0an,0tn,0n+++an,1an,1tn,1an,1tn,1n+++⋯⋯…⋯+++an,nan,ntn,nan,ntn,nn===b−a2b2−a2n+1bn+1−an+1
上式左侧可以用 Vandermonde 矩阵表示，因此存在唯一解 an,k,k=1,...,na_{n,k},k=1,...,nan,k,k=1,...,n。

接下来对于任意的 x∈C[a,b]x\in C[a,b]x∈C[a,b]，能否找到 an,ka_{n,k}an,k 满足的条件使得 fn(x)→f(x)f_n(x)\to f(x)fn(x)→f(x) 呢？根据 Stone-Weierstrass 定理，多项式的集合在 C[a,b]C[a,b]C[a,b] 中是稠密的，因此对于任意次数 NNN 的多项式 ppp 总有 fn(p)→f(p)f_n(p)\to f(p)fn(p)→f(p)。那么再应用前面的定理（即只需要判断完全集 M⊂XM\subset XM⊂X 中的元素是否满足条件即可），可以有如下结论

定理(G.Polya)：设数值积分 fnf_nfn 满足前面对于有限次多项式的要求（即 an,ka_{n,k}an,k 为 Vandermonde 矩阵方程的解）则任取 x∈C[a,b],fn(x)→f(x)x\in C[a,b],f_n(x)\to f(x)x∈C[a,b],fn(x)→f(x) 当且仅当存在常数 C≥0C\ge0C≥0，使得任取 n≥1n\ge1n≥1，有 ∑k=1nan,k≤C.\sum_{k=1}^na_{n,k}\le C.∑k=1nan,k≤C.

最后给我的博客打个广告，欢迎光临
https://glooow1024.github.io/
https://glooow.gitee.io/

前面的一些博客链接如下
泛函分析专栏
泛函分析笔记 0：绪论
泛函分析笔记 1：度量空间
泛函分析笔记 2：赋范空间
泛函分析笔记 3：内积空间
泛函分析笔记 4：Hahn-Banach定理
泛函分析笔记 5：Hahn-Banach定理的应用
泛函分析笔记 6：一致有界性原理
泛函分析笔记 7：弱收敛与弱星收敛