线性代数05 齐次/非齐次线性方程组的具体解集

通过线性代数系列博客03，我们了解了齐次线性方程组与非齐次线性方程组，了解了线性方程组的系数矩阵的行列式与解的情况的关系。接下来我们就要探究，如果我们需要具体求解线性方程，我们需要怎么做？

在具体了解求解线性方程组的过程之前，我们需要先明确几个概念。

1 明确概念

（1）齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组
（2）齐次线性方程组的解的情况：零解，或者非零解。
在这里，我们只需要讨论非零解的具体情况就好了。因为对于零解的情况，我们只需要算出来它的系数矩阵的行列式det A≠0即可。

基础解系
在聊基础解系之前，先讨论一个概念：解空间w，对于齐次线性方程组来说，它的解空间是齐次线性方程组的解集所构成的一个向量空间。对于非零解的情况下，此空间不是一个零空间（nullspace），因此我们可以在这个空间中知道一组向量，作为解空间w的一个基。
这样的一个基，我们就称为齐次线性方程组的一个基础解系。
（基：若空间中的任意一个向量都可以由一组线性无关的向量通过线性组合的方式表示，这样的一组向量，我们称为空间的基）

这里也可以得到基础解系的官方定义：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组

通解
对于齐次线性方程组的解集来说，η1,η2,.......,ηn\eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{n}η1,η2,.......,ηn
若存在一组解向量η1,η2,.......,ηt(t<=n)\eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{t}(t<=n)η1,η2,.......,ηt(t<=n)
是解空间的一个基，则称这组解向量为一个基础解系列。那么就方程组的解集W可以表示为：
w=k1η1+k2η2+.......+ktηt∣ki∈K，i=1,2,.....tw=k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+.......+k_{t}\eta_{t}|k_{i}∈K，i=1,2,.....tw=k1η1+k2η2+.......+ktηt∣ki∈K，i=1,2,.....t
公式表述的稍有不严谨,集合的{}符号没办法打上，其实上面这个关于w的表示方法就是说明，对于基础解系来说，它可以线性的表示为向量空间内的任何一个解。

解空间的维数
解空间的维数就是一个解中具有多少个向量，符合以下公式（其中W是解集，n是变量的数量，A是系数矩阵）
dimW=n−rank(A)dim W=n-rank(A) dimW=n−rank(A)
其实也很容易理解，秩的数量表示了主元的数量，n-rank（A）实际上是自由变量的数量，我们对自由变量中的一个取1，其他的取0，这样所有的自由变量均可以取到一次1，产生1次解向量。有多少个自由变量，我们可以得到不同的解。

2齐次线性方程组的解法

对以下实例进行求解：

通过以上实例，我们可以很清楚的看到齐次线性方程组的求解过程可以总结为以下过程：
（1）将系数矩阵A经过初等行变换化成最简行阶梯矩阵J
（2）直接从最简行阶梯矩阵J写出齐次线性方程组的一般形式（其实这一步就是消元法的代入步骤），这样就得到了一般解
（3）对于一般解，我们可以每一次让一个自由变量取1，其他的自由变量均取0，这样得到一个解向量，重复此过程，直到所有的解向量都的出来。
（4）对于所有的解向量的线性组合，我们就称为方程组的解集。（也叫做方程组的通解）

3 非齐次线性方程组的解法

对于非齐次线性方程组，我们的求法基本上是和齐次线性方程组基本上是一致的，但由于常数项的存在，我们在进行求解的时候，不能仅仅通过系数矩阵A来求解，而要通过增广矩阵Augmented matrix 来求解。通过下面一个实例来看：

通过以上实例，我们可以很清楚的看到非齐次线性方程组的求解过程可以总结为以下过程：
（1）将增广矩阵经过初等行变换化成最简行阶梯矩阵J
（2）直接从最简行阶梯矩阵J写出齐次线性方程组的一般形式（其实这一步就是消元法的代入步骤），这样就得到了一般解（注意别把常数项拉下）
（3）对于特解，我们可以令所有的自由变量均为0，这样可以得到一个特解。
（4）去掉一般解中的常数项，得到导出组的一般解。
（5）对于导出组的一般解，我们可以每一次让一个自由变量取1，其他的自由变量均取0，这样得到一个解向量，重复此过程，直到所有的解向量都得出来。
（6）对于特解+所有的解向量的线性组合，我们就称为方程组的解集。（也叫做方程组的通解）

可以看到，除了需要求特解，将常数项去掉后，我们回到了求解齐次线性方程得解得集合。
另外，导出组的概念需要说明：

导出组指的是，将非齐次线性方程组的常数项全部变成0，即将非齐次线性方程组转变为齐次线性方程组，这个对应的齐次线性方程组称作非齐次线性方程组的导出组。

4 概念

导出组
基础解系
极大线性无关组