Cyclic Permutations

题意
思路
对于每个 i i i,如果存在这样的 q q q和 w w w
q q q 是 i i i 左边第一个比 a i a_i ai 大的下标
w w w 是 i i i 右边第一个比 a i a_i ai 大的下标
那么容易证明 q q q 和 w w w 有边 , 也就是构成了环
证明
因为 ( q , i ] ( q , i ] (q,i] 中没有比 a i a_i ai 大的 , [ i , w ) [ i , w ) [i,w) 中没有比 a i a_i ai 大的, a q a_q aq 和 a w a_w aw 就是 [ q , w ] [ q , w ] [q,w] 中最大和次大 , 必定连边
证毕
Ⅰ . 方法一 : 组合构造 \color{Red}Ⅰ.方法一:组合构造 Ⅰ.方法一:组合构造
但是直接考虑存在环的情况比较复杂,考虑不存在环的情况。不存在环,就是对于每个 i i i不能同时向左右连边，也就是有么只有左边有数比它大,要么只有右边有数比它大换言之就是要么左边都比自己小,要么右边都比自己小这其实构成了一个单峰函数 \color{Red}这其实构成了一个单峰函数这其实构成了一个单峰函数前面一直递增到峰值 n n n,后面一直递减
图 Ⅱ . 方法二 : 思维 , \color{Red}图Ⅱ.方法二:思维, 图Ⅱ.方法二:思维,
注意到这样一个事实 , 除了 n 这个特殊的数注意到这样一个事实,除了n这个特殊的数注意到这样一个事实,除了n这个特殊的数
其他数都有比自己大的数 , 也就是一定会至少往外连一条边其他数都有比自己大的数,也就是一定会至少往外连一条边其他数都有比自己大的数,也就是一定会至少往外连一条边
这样就就必定会连 n − 1 条边 , 构成一颗树
在树的基础上 , 无论多加任何一条边都会形成环在树的基础上,无论多加任何一条边都会形成环在树的基础上,无论多加任何一条边都会形成环
那么想构成树 , 每个数比自己大的数都落在自己的一侧 ( 保证只向一侧连边 ) 那么想构成树,每个数比自己大的数都落在自己的一侧(保证只向一侧连边)那么想构成树,每个数比自己大的数都落在自己的一侧(保证只向一侧连边)
再次得到结论 , 前面递增到 n , 后面递减再次得到结论,前面递增到n,后面递减再次得到结论,前面递增到n,后面递减
代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
int main() {ll n;scanf("%lld", &n);ll ans1 = 1, ans2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {ans1 = ans1 * 2 % mod;ans2 = ans2 * i % mod;}printf("%lld\n", ((ans2 - ans1) % mod + mod) % mod);return 0;
}

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