【HDU 3903】三角函数的一些性质

1.题目链接。题目大意：给定一个三角形的三条边：a,b,c以及三个数n,m,k.这些数据都是整数。判定下面这个式子是不是有理数。

2.分析：显然，我们知道，cosA，cosB,cosC一定是有理数，因为从余弦定理可以轻松证明。然后就是几个性质了。

（1）cosA是有理数，cosnA也是有理数。这个证明很简单，采用数学归纳法证明即可。

（2）cosA是有理数，sinkA=u*sinA。其中u是有理数。这个证明也是很好证明的，用第一条结论+三角函数展开式即可。

知道了这些，我们可以简单的证明一下分子一定是有理数：

$\\cos(nA+mB)=cosnA*cosmB-sinnA*sinmB\\ \\Because:cosnA*cosmB=x(x \quad is\quad a \quad Rational\quad number )\\ \\sinnA=u*sinA,sinmB=q*sinB\\ sinnA*sinmB=y*sina*sinB\\ SO: cos(nA+mB)=x-y*sinA*sinB=x-y*(cosA*cosB+cosC)$
所以分子一定是一个有理数，那么只需要分母是有理数即可.对于分母： $\\sinkC=u*sinC\\ sinC=\sqrt{1-cosC^{2}}=\sqrt{1-(b*b+a*a-c*c)/(2*b*a))^{2}}$

那么只需要判断里面的数据能不能开方就行了。注意数据会爆long long

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 3e5 + 10;
int a, b, c, n, m, k, T;
int main()
{scanf("%d", &T);while (T--){scanf("%d%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &n, &m, &k);LL k = (LL)4 * a*a*b*b - (LL)(a*a + b * b - c * c)*(a*a + b * b - c * c);LL sqr = sqrt(1.0*k);if (sqr*sqr == k)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}return 0;
}

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