美丽而巧妙的定理—

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莫利定理（Morley’s theorem），也称为莫雷角三分线定理。将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

上图！

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证明

如图 , 在任意 △ABC△ABC△ABC 内部构造△BDC△BDC△BDC, 使 ∠DBC=∠B3,∠DCB=∠C3∠DB C =∠B3, ∠D CB =\large\frac{∠C}{3}∠DBC=∠B3,∠DCB=3∠C, 又作△BDF△BDF△BDF , 使 ∠DBF=∠B3,∠BDF=60°+∠C3∠DBF=\large\frac{∠B}{3}, ∠BDF=60°+\large\frac{∠C}{3}∠DBF=3∠B,∠BDF=60°+3∠C, 使DFDFDF 交BFBFBF于FFF,作正 △DFE△DFE△DFE , 则∠EDC=60°+∠B3∠EDC= 60°+\large\frac{∠B}{3}∠EDC=60°+3∠B. 又连结 ECECEC, 分别延长BDBDBD 与CDCDCD 交 EFEFEF 于点 E2E_2E2、F1F_1F1,
则∠F1=∠EDC−∠DEF1=∠B3∠F_1=∠EDC-∠DEF_1=\large\frac{∠B}{3}∠F1=∠EDC−∠DEF1=3∠B
同理∠E2=∠C3∠E_2 =\large\frac{∠C}{3}∠E2=3∠C.
显然B,C,E2,F1B,C,E_2,F_1B,C,E2,F1 共圆;
点B,D,F,F1B,D,F,F_1B,D,F,F1 共圆.
∴∠E2CF1=∠E2BF1=∠DFE=∠DEF∴ ∠E_2CF_1=∠E_2BF_1=∠DFE=∠DEF∴∠E2CF1=∠E2BF1=∠DFE=∠DEF
故D,C,E2,ED,C,E_2,ED,C,E2,E共圆,
∴∠DCE=∠E2=∠C3∴ ∠DCE=∠E 2 =\large\frac{∠C}{3}∴∠DCE=∠E2=3∠C
故 △DEC△D EC△DEC 中, ∠DEC=60°+∠A3∠D EC = 60°+\large\frac{∠A}{3}∠DEC=60°+3∠A
又作 ∠CEA′=120°+∠B3∠CEA ′= 120°+∠B3∠CEA′=120°+∠B3交CACACA 于点A′A^′A′
则∠EA′C=∠A3∠EA^′C =\large\frac{∠A}{3}∠EA′C=3∠A, ∠A′EF=60°+∠C3∠A^′EF=60°+\large\frac{∠C}{3}∠A′EF=60°+3∠C.又连结 FA′FA^′FA′并延长交BABABA 于点A″A^{″}A″, 则同理可证: ∠FA′E=∠A3∠FA^′E =\large\frac{∠A}{3}∠FA′E=3∠A
∠A″FE=∠A′FE=60°+∠B3∠A^{″}F E = ∠A ′F E = 60°+\large\frac{∠B}{3}∠A″FE=∠A′FE=60°+3∠B
从而∠A″FB=120°+∠C3,∠BA″F=∠A3∠A^{″}FB = 120°+\large\frac{∠C}{3}, ∠BA^{″}F =\large\frac{∠A}{3}∠A″FB=120°+3∠C,∠BA″F=3∠A
又连结A″EA^{″}EA″E , 则又同理可证 ∠FA″E=∠A3∠FA ″E =\large\frac{∠A}{3}∠FA″E=3∠A
∴∠FA′E=∠FA″E=∠A3∴ ∠FA^′E=∠FA^″E=\large\frac{∠A}{3}∴∠FA′E=∠FA″E=3∠A
∴∴∴点A′A^′A′与A″A^{″}A″必重合于点AAA , 则易知∠EAC=∠FAE=∠FAB=∠A3∠EAC=∠FAE=∠FAB=\large\frac{∠A}3∠EAC=∠FAE=∠FAB=3∠A
故正 △DEF△DEF△DEF 是 △ABC△ABC△ABC 的内角莫来三角形
证毕.
注：
证明很初等，方法不简单。

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